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解:
此题用求合力的方法是不行的。
因为细绳的拉力T是变力合力也是变力。
因此,无法计算合力的功。
例3如下图甲所示,质量为m的物块与倾角为的斜面体相对静止,当斜面体沿水平面向左匀速运动位移时,求物块所受重力、支持力、摩擦力做的功和合力做的功。
分析与解答:
物块受重力,如上图乙所示,物块随斜面体匀速运动,所受合力为零,所以,。
物块位移为
支持力的夹角为,
支持力做功。
静摩擦力的夹角为做的功.
合力是各个力做功的代数和
(1)根据功的定义计算功时一定要明确力的大小、位移的大小和力与位移间的夹角。
本题重力与位移夹角
支持力做正功,摩擦力与位移夹角为摩擦力做负功。
一个力是否做功,做正功还是做负功要具体分析。
(2)合力的功一般用各个力做功的代数和来求,因为功是标量,求代数和较简单。
如果先求合力再求功,则本题合力为零,合力功也为零。
例4如右图所示,用恒力F拉绳,使物体沿水平地面从图中已知,(绳不可伸长;
不计绳滑轮质量和滑轮摩擦)求F对物体做的功。
分析与解答:
力F对物体做的功就是作用于物体的绳拉力T做的功,的方向在变化,不能用恒力做功公式计算T做的功,我们注意到T做的功与力F作用于绳的C(力的作用点)做的功相等,如果C点的位移为
如右图所示,物体由
,物体在(因绳不可伸长),则由图知
故
本题提供一种把变力做功转换为恒力做功的方法。
例5汽车的质量为m,发动机的额定功率为P,汽车由静止开始沿平直公路匀加速启动,加速度为a,假定汽车在运动中所受阻力为f(恒定不变),求汽车能保持作匀加速运动的时间。
汽车运动过程中受牵引力F和阻力f共同作用,由牛顿定律知
汽车做匀加速运动,经过时间这时发动机的功率发动机的实际功率随时间的增加而增大,当时,经过的时间为,这就是汽车能保持以加速度作匀加速度运动的最长时间,故
二、动能定理
例1如图中ABCD是一条长轨道,其中AB段是倾角为段是水平的,都相切的一段小圆弧,其长度可以略去不计,一质量为点从静止状态释放,沿轨道滑下,最后停在的位置如图所示,现用一沿着轨道方向的力推滑块,使它缓慢地由停下,设滑块与轨道间动摩擦因数为,则推力对滑块做的功等于
A.B.C.D.
滑块从滑块初末态动能均为零,故
滑块从,物块初末态动能为零,即:
联立
(1)
(2)解得:
答案:
B。
本题用动能定理求功很简便,如用牛顿定律和功的定义求功则很繁琐,请读者试解一下并分析比较。
例2质量为的物体以速度竖直向上抛出,落回原处时速度大小为,求:
(1)物体运动中所受平均空气阻力;
(2)物体以初速度竖直向上抛出时的最大高度。
(1)设物体到达的最大高度为,则根据动能定理得
上升阶段
(1)
下降阶段
(2)
(1)÷
(2)得
故
(2)设上升的最大高度为,则由动能定理得
例3质量为分别受到不变的阻力作用,经过相同的时间停下来,它们的位移分别为,则
A.B.
C.D.
动量大小与动能的关系是,由的初动量所以A正确。
通过本题再一次比较功和冲量、动能和动量、动能定理和动量定理的特点。
例4用汽车从井下提重物,重物质量为定滑轮高为H,如图所示,已知汽车由此时轻绳与竖直方向夹角为。
这一过程中轻绳的拉力做功多大?
绳对重物的拉力为变力,应用动能定理列方程。
以重物为研究对象:
(1)
由图所示,重物的末速度vm与汽车在B点的速度vB的沿绳方向的分速度相同,则
联立
(1)
(2)(3)解得:
例5如图所示,质量为m的小球被用细绳经过光滑小孔而牵引在光滑水平面上做圆周运动,拉力为值时,小球仍做匀速圆周运动,转动半径为,求此过程中拉力F所做的功。
细绳的拉力是变力,提供小球做匀速圆周运动的向心力,应用动能定理列方程:
由
(1)
(2)(3)式得
此题是变力做功问题。
用动能定理解决变力做功的方法:
一般不直接求功,而是分析动能变化再由动能定理求功。
例6如图所示,在一个固定盒子里有一个质量为的滑块,它与盒子底面摩擦系数为,开始滑块在盒子中央以足够大的初速度向右运动,与盒子两壁碰撞若干次后速度减为零,若盒子长为,滑块与盒壁碰撞没有能量损失,求整个过程中物体与两壁碰撞的次数。
以滑块为研究对象,滑块在整个运动过程中克服摩擦阻力做功消耗了滑块的初始动能,依动能定理列方程,设碰撞次:
(1)
得:
此题要注意
(1)摩擦力做功的大小是摩擦力乘以物体通过的路程而不是位移。
三、机械能守恒定律
例1如图所示的装置中,木块B与水平桌面间的接触是光滑的,子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内,将弹簧压缩到最短,现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统),则此系统在子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中
A.动量守恒,机械能守恒
B.动量不守恒,机械能不守恒
C.动量守恒,机械能不守恒
D.动量不守恒,机械能守恒
子弹射入木块的极短时间内,木块位移极小,系统水平方向不受外力,竖直方向上外力的和为零,这个过程中系统的动量守恒,但子弹穿入木块过程中有摩擦阻力做功,机械能不守恒。
子弹和木块以共同的速度压缩弹簧至最短的过程中,弹簧受竖直挡板的作用力,系统动量不守恒,但这过程中只有弹力做功,系统机械能守恒,所以整个过程,动量不守恒,机械能也不守恒。
例2如图所示,一根长为l的细线,一端固定于O点,另一端拴一质量为m的小球,当小球处于最低平衡位置时,受到极短时间的水平冲量I,要小球能在竖直平面内作圆周运动并通过最高点P,I至少应多大?
小球在水平冲量I作用下获得水平速度。
小球在细线拉力T和重力作用下,点作竖直面内的圆周运动,T不作功,只有重力作功,小球机械能守恒。
小球沿圆周运动到最高点,在P点小球受向下的拉力和重力作用,根据牛顿定律得:
有最小值,设为则:
由机械能守恒得
(2)
由
(1)
(2)得
故水平冲量。
小球通过最高点是解本题的关键,这条件是由牛顿定律分析得到的。
例3如图所示,
的静止的车后面的弹簧将弹簧压缩并与弹簧的左端连接在一起,求在此后的运动过程中:
(1)弹簧的最大弹性势能;
(2)车的最大速度。
(1)把
A车撞上B车压缩弹簧,弹簧对A、B两车的弹力使A车减速B车加速,只要A车速度大于B车速度弹簧就继续压缩,当A、B两车速度相等时弹簧压缩量最大,弹性势能最大,此后B车速度大于A车,弹簧逐渐恢复,当弹簧恢复到原长时B车速度增加到最大值。
紧接着弹簧要伸长,弹力使A车加速B车减速,当两车速度相等时弹簧伸长量最大,弹性势能最大。
以上过程只有弹力做功,系统动能与弹性势能相互转化,机械能守恒。
所以两车速度相等时弹簧压缩量最大或伸长量最大,弹性势能最大。
设A、B两车速度为V,弹性势能为。
根据动量守恒:
——①
根据机械能守恒:
——②
联立①、②式解得:
(2)由以上分析知弹簧恢复原长时B车速度最大。
设这时B车的速度为,A车的速度为,根据动量守恒:
——③
——④
联立③、④式解得
(1)本题关键是分析得到弹性势能最大的条件和B车速度最大的条件。
读本题应学会分析两车相互作用过程中力、加速度、速度、动能、弹性形变、弹性势能等的变化情况,这能培养和提高分析物理过程的能力。
(2)解方程求出,请同学们从物理过程的分析来理解为什么出现负值。
例4:
如右图所示,光滑半圆上有两个小球,质量分别为m和M,由细绳挂着,今由静止开始释放,求小球m至C点时的速度。
以两球和地球组成的系统为研究对象。
在运动过程中,系统的机械能守恒。
选初态位置为参考平面:
做机械能守恒定律的应用题必须学会画示意图——画出各物体初态位置和末态位置,选好参考平面。
找准初态系统总的机械能和末态系统总的机械能。
根据系统的机械能守恒列方程:
也可以应用动能定理列方程:
四、运用能量的观点解决物理问题
例1:
如图所示,有一个物体A叠放在物体B上,两物体间的摩擦系数为,其质量分别为m,M,水平地面光滑。
今施加一水平恒力F作用在B物体上,使它们一起向前运动S米的位移。
求在运动过程中,B对A的摩擦力对A物体所做的功和A对B的摩擦力对B物体所做的功,A与B组成的系统摩擦力做功的代数和是多少?
A和B接触面上产生的热为多少?
依牛顿第二定律,列方程:
一起向前加速,即保持相对静止。
B对A的摩擦力fAB对A做功为:
静摩擦力做正功
A对B的摩擦力与B对A的摩擦力大小相等,方向相反
则A对B的摩擦力对B做功为:
静摩擦力做负功。
又A和B组成的系统,摩擦力做功的代数和为W。
所以,A和B的接触面间没有相对位移:
,故静摩擦没有产生热,即:
静摩擦力可对物体做功(可做正功,也可以做负功)但一对静摩擦力做功的代数和一定为零。
系统机械能没有减少,所以系统没有产生热。
【专项训练】
一、单项选择题:
1、物体M放在光滑水平地面上,其上固定有一个光滑的定滑轮,一根轻绳一端固定在墙上,水平地跨过定滑轮后与水平方向成角,用恒力F拉动物体M,使物体M以加速度a向右运动如右图所示,在物体M起动后t秒内拉力对物体M所做的功为()
A.B.
C.D.
2、如右图所示,物体A和B与地面摩擦系数相同,A和B质量也相同,在力F作用下,一起沿水平地面向右运动s米,以下说法正确的是()
A.摩擦力对A、B所做的功相同;
B.F对A所做的功与A对B所做的功相同;
C.A受合外力对A所做的功与B所受合外力对B所做的功相同;
D.以上说法都不对。
3、如右图所示,图中ABCD是一条长轨道,其中AB段是倾角为的斜面,CD段是水平的,BC是与AB和CD都相切的一小段圆弧,其长度可以略去不计。
一质量为m的小滑块在A点从静止状态释放,沿轨道滑下,最后停在D点。
A点和D点的位置如图所示。
现用一沿道轨道方向的力推滑块,使它缓慢地由D点推回到A点时停下,设滑块与轨道间的摩擦系数为,则推力对滑块做的功等于()
C.D.2
4、如右图所示小物块位于光滑的斜面上,斜面位于光滑的水平地面上,从地面上看,在小物块沿斜面下滑的过程中,斜面对小物块的作用力()
A.垂直于接触面,做功为零;
B.垂直于接触面,做功不为零;
C.不垂直于接触面,做功为零;
D.不垂直
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