数学必修4人教B版第二章 222Word格式文档下载.docx

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知识点三　|a|－|b|，|a±

b|，|a|＋|b|三者的关系

思考　在三角形中有两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合这一性质及向量加、减法的几何意义，|a|－|b|，|a±

b|，|a|＋|b|三者关系是怎样的？

答案　它们之间的关系为||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|.

梳理　当向量a，b不共线时，作＝a，＝b，则a＋b＝，如图

（1），根据三角形的三边关系，则有||a|－|b||<

|a＋b|<

|a|＋|b|.

当a与b共线且同向或a，b中至少有一个为零向量时，作法同上，如图

（2），此时|a＋b|＝|a|＋|b|.当a与b共线且反向或a，b中至少有一个为零向量时，不妨设|a|>

|b|，作法同上，如图（3），此时|a＋b|＝||a|－|b||.

故对于任意向量a，b，总有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.①

因为|a－b|＝|a＋（－b）|，

所以||a|－|－b||≤|a－b|≤|a|＋|－b|，

即||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.②

将①②两式结合起来即为||a|－|b||≤|a±

1．相反向量就是方向相反的向量．（　×

　）

提示　相反向量的方向相反，大小相等；

方向相反的向量只是方向相反，大小没有关系．

2．向量与是相反向量．（　√　）

提示　与大小相等、方向相反．

3．－＝，－（－a）＝a.（　√　）

提示　根据相反向量的定义可知其正确．

4．两个相等向量之差等于0.（　×

提示　两个相等向量之差等于0.

类型一　向量减法的几何作图

例1　如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

考点　向量的减法运算及其应用

题点　求作差向量

解　方法一　如图①，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

方法二　如图②，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

引申探究

若本例条件不变，则a－b－c如何作？

解　如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.再作＝c，则＝a－b－c.

反思与感悟　求作两个向量的差向量时，当两个向量有共同始点，直接连接两个向量的终点，并指向被减向量，就得到两个向量的差向量；

若两个向量的始点不重合，先通过平移使它们的始点重合，再作出差向量．

跟踪训练1　如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c.求作：

b＋c－a.

解　方法一　以，为邻边作▱OBDC，连接OD，AD，

则＝＋＝b＋c，

＝－＝b＋c－a.

方法二　作＝＝b，

连接AD，则＝－＝c－a，

＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.

类型二　向量减法法则的应用

例2　化简下列式子：

（1）－－－；

（2）（－）－（－）．

考点　向量加、减法的综合运算及应用

题点　利用向量的加、减法化简向量

解　

（1）原式＝＋－＝＋＝－＝0.

（2）原式＝－－＋

＝（－）＋（－）＝＋＝0.

反思与感悟　向量减法的三角形法则的内容是：

两向量相减，表示两向量起点的字母必须相同，这样两向量的差向量以减向量的终点字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点．

跟踪训练2　化简：

（1）（－）－（－）；

（2）（＋＋）－（－－）．

解　

（1）（－）－（－）

＝－＝.

（2）（＋＋）－（－－）

＝＋－＋（＋）

＝＋－＋

＝－＋＝＋＋

＝＋＝0.

类型三　向量减法几何意义的应用

例3　已知||＝6，||＝9，求|－|的取值范围．

考点　向量减法的定义及其几何意义的应用

题点　向量、和向量与差向量的模之间的特殊关系

解　∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝9，||＝6，∴3≤|－|≤15.

当与同向时，|－|＝3；

当与反向时，|－|＝15.

∴|－|的取值范围为[3,15]．

反思与感悟　

（1）如图所示，在平行四边形ABCD中，若＝a，＝b，则＝a＋b，＝a－b.

（2）在公式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相反且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a＋b|；

当a与b方向相同时，|a＋b|＝|a|＋|b|.

（3）在公式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，当a与b方向相同，且|a|≥|b|时，|a|－|b|＝|a－b|；

当a与b方向相反时，|a－b|＝|a|＋|b|.

跟踪训练3　在四边形ABCD中，设＝a，＝b，且＝a＋b，|a＋b|＝|a－b|，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形

答案　B

解析　∵＝a＋b，∴四边形ABCD为平行四边形，

又∵＝a－b，|a＋b|＝|a－b|，

∴||＝||.∴四边形ABCD为矩形.

1.如图所示，在▱ABCD中，＝a，＝b，则用a，b表示向量和分别是（　　）

A．a＋b和a－b

B．a＋b和b－a

C．a－b和b－a

D．b－a和b＋a

考点　向量减法的定义及其几何意义

题点　向量减法的定义及其几何意义

解析　由向量的加法、减法法则，得

＝＋＝a＋b，

＝－＝b－a.

故选B.

2.－＋＋等于（　　）

A.B.C.D.

3．下列等式成立的个数是（　　）

①a＋b＝b＋a；

②a－b＝b－a；

③0－a＝－a；

④－（－a）＝a；

⑤a＋（－a）＝0.

A．5B．4C．3D．2

解析　由向量加、减法的定义可知，①③④⑤正确．

4.如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，，及.

题点　用已知向量表示未知向量

解　∵四边形ACDE是平行四边形，

∴＝＝c，

＝－＝b－a，

＝－＝c－a，

＝－＝c－b，

∴＝＋＝b－a＋c.

1．向量减法的实质是向量加法的逆运算．利用相反向量的定义，－＝就可以把减法转化为加法．即减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．如a－b＝a＋（－b）．

2．在用三角形法则作向量减法时，要注意“差向量连接两向量的终点，箭头指向被减向量”．解题时要结合图形，准确判断，防止混淆．

3．以平行四边形ABCD的两邻边AB，AD分别表示向量＝a，＝b，则两条对角线表示的向量为＝a＋b，＝b－a，＝a－b，这一结论在以后应用非常广泛，应该加强理解并掌握.

一、选择题

1．（2018·

舟山中学开学考试）＋－等于（　　）

A.B.

C.D.

题点　利用向量的加、减法表示向量

答案　D

2．在平行四边形ABCD中，＋－等于（　　）

题点　几何图形中的向量加、减法运算

答案　C

解析　在平行四边形ABCD中，＝，＝，

所以＋－＝（－）＋＝.

3．在边长为1的正三角形ABC中，|－|的值为（　　）

A．1B．2C.D.

解析　如图，作菱形ABCD，

则|－|＝|－|

＝||＝.

4．（2017·

三门峡灵宝三中质检）下列四个式子中可以化简为的是（　　）

①＋－；

②－；

③＋；

④－.

A．①④B．①②C．②③D．③④

答案　A

解析　因为＋－＝－＝＋＝，

所以①正确，排除C，D；

因为－＝，所以④正确，排除B，故选A.

5．（2017·

金华十校期末）M是△ABC边AB上的中点，记＝a，＝b，则向量等于（　　）

A．－a－bB．－a＋b

C．a－bD．a＋b

解析　由题意得＝b，

∴＝－＝a－b.

6．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是（　　）

A．[3,8]B．（3,8）

C．[3,13]D．（3,13）

考点　向量减法的定义及几何意义

题点　向量减法的三角不等式

解析　∵||＝|－|且

|||－|||≤|－|≤|A|＋||，

∴3≤|－|≤13，∴3≤||≤13.

7.如图，在四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，则等于（　　）

A．a－b＋c

B．b－（a＋c）

C．a＋b＋c

D．b－a＋c

考点　向量加减法的综合运算及应用

二、填空题

8．化简：

（1）＋－＝________；

（2）－－－＝________.

答案　

（1）0　

（2）

解析　

（1）＋－＝＋＝0；

（2）－－－＝（－）－（＋）

＝－0＝.

9．已知＝a，＝b，若||＝12，||＝5，且∠AOB＝90°

，则|a－b|＝________.

题点　利用向量的加、减法运算求向量的模

答案　13

解析　∵||＝12，||＝5，∠AOB＝90°

，

∴||2＋||2＝||2，∴||＝13.

∵＝a，＝b，

∴a－b＝－＝，

∴|a－b|＝||＝13.

10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于点O，则－－＋＋＝________.

题点　几何图形中向量的加、减法运算

答案　

11．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且||＝4，|＋|＝|－|，则||＝________.

答案　2

解析　以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，＝＋，＝－，∵|＋|＝|－|，∴||＝||，又||＝4，M是线段BC的中点，∴||＝||＝||＝2.

12.如图所示，已知正方形ABCD的边长为1，＝a，＝b，＝c，则

（1）|a＋b＋c|＝________；

（2）|a－b＋c|＝______.

题点　利用向量的加、减法