高中数学课时跟踪检测十定积分的概念新人教A版选修Word文档下载推荐.docx
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由定积分的几何意义知,C项显然正确;
D项,f(x)也可以小于0,但必须有大于0的部分,且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大.
4.设f(x)=则f(x)dx的值是( )
A.x2dxB.2xdx
C.x2dx+2xdxD.2xdx+x2dx
选D 由定积分性质(3)求f(x)在区间[-1,1]上的定积分,可以通过求f(x)在区间[-1,0]与[0,1]上的定积分来实现,显然D正确,故应选D.
5.下列各阴影部分的面积S不可以用S=[f(x)-g(x)]dx求出的是( )
选D 定积分S=[f(x)-g(x)]dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积,必须注意f(x)的图象要在g(x)的图象上方.对照各选项可知,D项中f(x)的图象不全在g(x)的图象上方.故选D.
6.若f(x)dx=3,g(x)dx=2,则[f(x)+g(x)]dx=__________.
[f(x)+g(x)]dx=f(x)dx+g(x)dx=3+2=5.
答案:
5
7.若f(x)dx=1,g(x)dx=-3,则[2f(x)+g(x)]dx=_______.
[2f(x)+g(x)]dx=2f(x)dx+g(x)dx=2×
1-3=-1.
-1
8.计算:
dx=____________.
dx表示以原点为圆心,半径为4的圆的面积,∴dx=π·
42=4π.
4π
9.化简下列各式,并画出各题所表示的图形的面积.
(1)x2dx+x2dx;
(2)(1-x)dx+(x-1)dx.
解:
(1)原式=x2dx,如图
(1)所示.
(2)(1-x)dx+(x-1)dx=|1-x|dx,如图
(2)所示.
10.已知函数f(x)=
求f(x)在区间[-1,3π]上的定积分.
由定积分的几何意义知:
∵f(x)=x5是奇函数,故x5dx=0;
sinxdx=0(如图
(1)所示);
xdx=(1+π)(π-1)=(π2-1)(如图
(2)所示).
∴f(x)dx=x5dx+xdx+sinxdx
=xdx=(π2-1).
层级二 应试能力达标
1.设f(x)是[a,b]上的连续函数,则f(x)dx-f(t)dt的值( )
A.小于零 B.等于零
C.大于零D.不能确定
选B f(x)dx和f(t)dt都表示曲线y=f(x)与x=a,x=b及y=0围成的曲边梯形面积,不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置.所以其值为0.
2.(陕西高考)如图所示,图中曲线方程为y=x2-1,用定积分表示围成封闭图形(阴影部分)的面积是( )
A.(x2-1)dx
B.(x2-1)dx
C.|x2-1|dx
D.(x2-1)dx+(x2-1)dx
选C 由定积分的几何意义和性质可得:
图中围成封闭图形(阴影部分)的面积S=(1-x2)dx+(x2-1)dx=|x2-1|dx,故选C.
3.设a=xdx,b=x2dx,c=x3dx,则a,b,c的大小关系是( )
A.c>a>bB.a>b>c
C.a=b>cD.a>c>b
选B 根据定积分的几何意义,易知x3dx<x2dx<xdx,即a>b>c,故选B.
4.已知t>
0,若(2x-2)dx=8,则t=( )
A.1B.-2
C.-2或4D.4
选D 作出函数f(x)=2x-2的图象与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2),易求得S△OAB=1,
∵(2x-2)dx=8,且(2x-2)dx=-1,∴t>
1,
∴S△AEF=|AE||EF|=×
(t-1)(2t-2)=(t-1)2=9,∴t=4,故选D.
5.定积分(2+)dx=________.
原式=2dx+dx.
因为2dx=2,dx=,
所以(2+)dx=2+.
2+
6.已知f(x)是一次函数,其图象过点(3,4)且f(x)dx=1,则f(x)的解析式为______.
设f(x)=ax+b(a≠0),
∵f(x)图象过(3,4)点,∴3a+b=4.
又f(x)dx=(ax+b)dx=axdx+bdx=a+b=1.
解方程组得∴f(x)=x+.
f(x)=x+
7.一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,用定积分法求汽车在这一分钟内行驶的路程.
依题意,汽车的速度v与时间t的函数关系式为
v(t)=
所以该汽车在这一分钟内所行驶的路程为
s=v(t)dt=tdt+(50-t)dt+10dt
=300+400+200=900(米).
8.求证:
<dx<1.
证明:
如图,dx表示阴影部分面积,△OAB的面积是,正方形OABC的面积是1,显然,△OAB的面积<阴影部分面积<正方形OABC的面积,即<dx<1.
2019-2020年高中数学课时跟踪检测十抛物线及其标准方程新人教A版选修
1.抛物线y=12x2上的点到焦点的距离的最小值为( )
A.3 B.6
C.D.
选C 将方程化为标准形式是x2=y,因为2p=,所以p=.故到焦点的距离最小值为.
2.已知抛物线y2=2px(p>
0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切,则p的值为( )
A.B.1
C.2D.4
选C ∵抛物线y2=2px的准线x=-与圆(x-3)2+y2=16相切,∴-=-1,即p=2.
3.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( )
A.B.
C.3D.2
选C 过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,因为=4,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离为4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C.
4.设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线B.双曲线
C.椭圆D.圆
选A 由题意知,圆C的圆心到点(0,3)的距离比到直线y=0的距离大1,即圆C的圆心到点(0,3)的距离与到直线y=-1的距离相等,根据抛物线的定义可知,所求轨迹是一条抛物线.
5.已知双曲线C1:
-=1(a>
0,b>
0)的离心率为2.若抛物线C2:
x2=2py(p>
0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为( )
A.x2=yB.x2=y
C.x2=8yD.x2=16y
选D 双曲线的渐近线方程为y=±
x,由于===2,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±
x.抛物线的焦点坐标为,所以=2,所以p=8,所以抛物线方程为x2=16y.
6.抛物线x=y2的焦点坐标是________.
方程改写成y2=4mx,得2p=4m,∴p=2m,即焦点(m,0).
(m,0)
7.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是________.
设点M的横坐标为x,则点M到准线x=-1的距离为x+1,
由抛物线的定义知x+1=10,∴x=9,
∴点M到y轴的距离为9.
9
8.对标准形式的抛物线,给出下列条件:
①焦点在y轴上;
②焦点在x轴上;
③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;
④由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1).
其中满足抛物线方程为y2=10x的是________.(要求填写适合条件的序号)
抛物线y2=10x的焦点在x轴上,②满足,①不满足;
设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以③不满足;
由于抛物线y2=10x的焦点为,过该焦点的直线方程为y=k,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时存在,所以④满足.
②④
9.已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线方程和准线方程.
法一:
如图所示,设抛物线的方程为x2=-2py(p>
0),则焦点F,准线l:
y=,作MN⊥l,垂足为N,则|MN|=|MF|=5,而|MN|=3+,3+=5,即p=4.
所以抛物线方程为x2=-8y,准线方程为y=2.
由m2=-8×
(-3)=24,得m=±
2.
法二:
设所求抛物线方程为x2=-2py(p>
0),则焦点为F.
∵M(m,-3)在抛物线上,且|MF|=5,
故解得
∴抛物线方程为x2=-8y,m=±
2,准线方程为y=2.
10.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.
(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;
(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?
如图所示.
(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>
0),
因为点C(5,-5)在抛物线上,
所以该抛物线的方程为x2=-5y.
(2)设车辆高为h,则|DB|=h+0.5,
故D(3.5,h-6.5),
代入方程x2=-5y,解得h=4.05,
所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.
1.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为( )
A.圆 B.椭圆
C.直线D.抛物线
选D 设P为满足条件的点,则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离,即点P在以点A为焦点,y轴为准线的抛物线上,所以点P的轨迹为抛物线.故选D.
2.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点,点M为其准线上的动点,当△FPM为等边三角形时,其面积为( )
A.2B.4
C.6D.4
选D 如图,∵△FPM是等边三角形.
∴由抛物线的定义知PM⊥l.
在Rt△MQF中,|QF|=2,
∠QMF=30°
,∴|MF|=4,
∴S△PMF=×
42=4.故选D.
3.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( )
A. B. C.1 D.2
选D 设AB的中点为M,焦点为F(0,1).过M作准线l:
y=-1的垂线MN,过A作AC⊥l于C,过B作BD⊥l于D,
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