理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx
- 文档编号:15112374
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:27
- 大小:1.06MB
理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx
《理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版Word格式.docx(27页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(ii)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角),取其余角就是斜线和平面所成的角.
下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.
【压轴典例】
例1.(2018·
全国高考真题(理))已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,
所以在正方体中,
平面与线所成的角是相等的,
所以平面与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,
同理平面也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,
要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面与中间的,
且过棱的中点的正六边形,且边长为,
所以其面积为,故选A.
例2.(2018·
全国高考真题(文))设是同一个半径为4的球的球面上四点,为等边三角形且其面积为,则三棱锥体积的最大值为()
【答案】B
如图所示,
点M为三角形ABC的中心,E为AC中点,
当平面时,三棱锥体积最大
此时,
点M为三角形ABC的中心
中,有
故选B.
例3.(2017·
全国高考真题(理))a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线AB与a成60°
角时,AB与b成30°
角;
②当直线AB与a成60°
角时,AB与b成60°
③直线AB与a所成角的最小值为45°
;
④直线AB与a所成角的最大值为60°
.
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号)
【答案】②③
由题意知,a、b、AC三条直线两两相互垂直,画出图形如图,
不妨设图中所示正方体边长为1,
故|AC|=1,|AB|,
斜边AB以直线AC为旋转轴,则A点保持不变,
B点的运动轨迹是以C为圆心,1为半径的圆,
以C坐标原点,以CD为x轴,CB为y轴,CA为z轴,建立空间直角坐标系,
则D(1,0,0),A(0,0,1),直线a的方向单位向量(0,1,0),||=1,
直线b的方向单位向量(1,0,0),||=1,
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′(cosθ,sinθ,0),
其中θ为B′C与CD的夹角,θ∈[0,2π),
∴AB′在运动过程中的向量,(cosθ,sinθ,﹣1),||,
设与所成夹角为α∈[0,],
则cosα|sinθ|∈[0,],
∴α∈[,],∴③正确,④错误.
设与所成夹角为β∈[0,],
cosβ|cosθ|,
当与夹角为60°
时,即α,
|sinθ|,
∵cos2θ+sin2θ=1,∴cosβ|cosθ|,
∵β∈[0,],∴β,此时与的夹角为60°
,
∴②正确,①错误.
故答案为:
②③.
例4.(2017·
全国高考真题(理))如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:
cm3)的最大值为______.
【答案】
如下图,连接DO交BC于点G,设D,E,F重合于S点,正三角形的边长为x(x>
0),则.
,
三棱锥的体积.
设,x>
0,则,
令,即,得,易知在处取得最大值.
∴.
例5.(2016·
浙江高考真题(理))如图,在ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°
.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.
中,因为,所以.
由余弦定理可得,
所以.
设,则,.在中,由余弦定理可得.故.
在中,,.
由余弦定理可得,所以.
由此可得,将ABD沿BD翻折后可与PBD重合,无论点D在任何位置,只要点D的位置确定,当平面PBD⊥平面BDC时,四面体PBCD的体积最大(欲求最大值可不考虑不垂直的情况).
过作直线的垂线,垂足为.设,则,
即,解得.
而的面积.
当平面PBD⊥平面BDC时:
四面体的体积.
观察上式,易得,当且仅当,即时取等号,同时我们可以发现当时,取得最小值,故当时,四面体的体积最大,为
例6.(2019·
安徽芜湖一中高三开学考试)在中,,斜边.可以通过以直线为轴旋转得到,且二面角是直二面角.动点的斜边上.
(1)求证:
平面平面;
(2)求直线与平面所成角的正弦的最大值.
(1)详见解析;
(2).
(1)为直角三角形,且斜边为,.
将以直线为轴旋转得到,则,即.
二面角是直二面角,即平面平面.
又平面平面,平面,平面.
平面,因此,平面平面;
(2)在中,,斜边,且.
由
(1)知,平面,所以,直线与平面所成的角为.
在中,,,,
当时,取最小值,此时取最大值,且.
因此,,
即直线与平面所成角的正弦的最大值为.
例7.(2019·
深圳市高级中学高三月考(文))如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(1)若D为线段AC的中点,求证:
AC⊥平面PDO;
(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(3)若,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
(1)见解析;
(2);
(3)
(1)证明:
在△AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC⊥DO.
又PO垂直于圆O所在的平面,所以PO⊥AC.
因为DO∩PO=O,所以AC⊥平面PDO.
(2)解:
因为点C在圆O上,所以当CO⊥AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.
又AB=2,所以△ABC面积的最大值为.
又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,
故三棱锥P-ABC体积的最大值为.
(3)解:
在△POB中,PO=OB=1,∠POB=90°
同理,所以PB=PC=BC.
在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P,使之与平面ABP共面,如图所示.
当O,E,C′共线时,CE+OE取得最小值.
又因为OP=OB,,所以垂直平分PB,即E为PB的中点.
从而,
即CE+OE的最小值为.
例8.(2016·
江苏高考真题)现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥,下部分的形状是正四棱柱(如图所示),并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.
(1)若则仓库的容积是多少?
(2)若正四棱锥的侧棱长为,则当为多少时,仓库的容积最大?
(1)312
(2)
(1)由PO1=2知OO1=4PO1=8.
因为A1B1=AB=6,
所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积
所以仓库的容积V=V锥+V柱=24+288=312(m3).
(2)设A1B1=a(m),PO1=h(m),则0<
h<
6,OO1=4h.连结O1B1.
因为在中,
所以,即
于是仓库的容积,
从而.
令,得或(舍).
当时,,V是单调增函数;
当时,,V是单调减函数.
故时,V取得极大值,也是最大值.
因此,当m时,仓库的容积最大.
【压轴训练】
1.(2019·
四川石室中学高三开学考试(文))在中,已知,,,D是边AC上一点,将沿BD折起,得到三棱锥.若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上,设,则x的取值范围为()
A.B.C.D.
由将沿BD折起,得到三棱锥,且在底面的射影在线段上,
如图2所示,平面,则,
在折叠前图1中,作,垂足为,
在图1中过作于点,当运动点与点无限接近时,折痕接近,此时与点无限接近,
在图2中,由于是直角的斜边,为直角边,所以,
由此可得,
因为中,,
由余弦定理可得,所以,
所以
由于,所以实数的取值范围是,
故选B.
2.(2019·
四川高三月考(文))已知球O表面上的四点A,B,C,P满足,.若四面体PABC体积的最大值为,则球O的表面积为()
A.B.C.D.8π
当平面ABP与平面ABC垂直时,四面体ABCP的体积最大.
由,,得.
设点Р到平面ABC的距离为h,则,解得.
设四面体ABCP外接球的半径为R,则,解得.
所以球O的表面积为.
故选:
A.
3.(2019·
湖南雅礼中学高三月考(理))圆锥的母线长为,其侧面展开图的中心角为弧度,过圆锥顶点的截面中,面积的最大值为,则的取值范围是()
A.B.
C.D.
设轴截面的中心角为,过圆锥顶点的截面的顶角为,且
过圆锥顶点的截面的面积为:
又过圆锥顶点的截面中,面积的最大值为,
故此时,故
圆锥底面半径r
∴侧面展开图的中心角为弧度
A.
4.(2019·
安徽高考模拟(理))如图,已知四面体为正四面体,,,分别是,中点.若用一个与直线垂直,且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体,由此得到一个多边形截面,则该多边形截面面积最大值为()
A.B.C.D.1
将正四面体补成正方体,如下图所示:
截面为平行四边形,可得
又,,且
可得(当且仅当时取等
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 理数真题分类训练专题17 立体几何中的最值问题解析版 理数真题 分类 训练 专题 17 立体几何 中的 问题 解析