北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总文档格式.docx
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(2)由得抛物线的顶点坐标为B(,1),
依题意,可得C(,﹣1),且直线过原点,
设直线的解析式为y=kx,则,
所以直线l的解析式为.
(3)到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个,如图,
由勾股定理得OB=OC=BC=2,所以△OBC为等边三角形.
易证x轴所在的直线平分∠BOC,y轴是△OBC的一个外角的平分线,
作∠BCO的平分线,交x轴于M1点,交y轴于M2点,
作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线,交y轴于M3点,
反向延长线交x轴于M4点,可得点M1,M2,M3,M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点.
可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形,可求得:
①OM1==×
2=,所以点M1的坐标为(,0).
②点M2与点A重合,所以点M2的坐标为(0,2),
③点M3与点A关于x轴对称,所以点M3的坐标为(0,﹣2),
④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N,
M4N=,且ON=M4N,
所以点M4的坐标为(,0)
综合所述,到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为:
M1(,0)、M2(0,2)、M3(0,﹣2)、M4(,0).
点评:
本题主要考查了二次函数解析式的确定,一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点.综合性强,能力要求较高.考查学生分类讨论,数形结合的数学思想方法
24、(2008•北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B,C两点.
(1)求直线BC及抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D,点P在抛物线的对称轴上,且∠APD=∠ACB,求点P的坐标;
(3)连接CD,求∠OCA与∠OCD两角和的度数.
综合题。
(1)依题意设直线BC的解析式为y=kx+3,把B点坐标代入解析式求出直线BC的表达式.然后又已知抛物线y=x2+bx+c过点B,C,代入求出解析式.
(2)由y=x2﹣4x+3求出点D,A的坐标.得出三角形OBC是等腰直角三角形求出∠OBC,CB的值.过A点作AE⊥BC于点E,求出BE,CE的值.证明△AEC∽△AFP求出PF可得点P在抛物线的对称轴,求出点P的坐标.
(3)本题要靠辅助线的帮助.作点A(1,0)关于y轴的对称点A'
,则A'
(﹣1,0),求出A'
C=AC,由勾股定理可得CD,A'
D的值.得出△A'
DC是等腰三角形后可推出∠OCA+∠OCD=45度.
(1)∵y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后经过y轴上的点C,
∴C(0,3).
设直线BC的解析式为y=kx+3.
∵B(3,0)在直线BC上,
∴3k+3=0.
解得k=﹣1.
∴直线BC的解析式为y=﹣x+3.(1分)
∵抛物线y=x2+bx+c过点B,C,
∴
解得∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3.(2分)
(2)由y=x2﹣4x+3.
可得D(2,﹣1),A(1,0).
∴OB=3,OC=3,OA=1,AB=2.
可得△OBC是等腰直角三角形,
∴∠OBC=45°
,CB=3.
如图1,设抛物线对称轴与x轴交于点F,
∴AF=AB=1.
过点A作AE⊥BC于点E.
∴∠AEB=90度.
可得BE=AE=,CE=2.
在△AEC与△AFP中,∠AEC=∠AFP=90°
,∠ACE=∠APF,
∴△AEC∽△AFP.
∴,.
解得PF=2.∵点P在抛物线的对称轴上,
∴点P的坐标为(2,2)或(2,﹣2).(5分)
(3)解法一:
如图2,作点A(1,0)关于y轴的对称点A'
(﹣1,0).
连接A'
C,A'
D,
可得A'
C=AC=,∠OCA'
=∠OCA.
由勾股定理可得CD2=20,A'
D2=10.
又∵A'
C2=10,
∴A'
D2+A'
C2=CD2.
∴△A'
DC是等腰直角三角形,∠CA'
D=90°
,
∴∠DCA'
=45度.
∴∠OCA'
+∠OCD=45度.
∴∠OCA+∠OCD=45度.
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度.(7分)
解法二:
如图3,连接BD.
同解法一可得CD=,AC=.
在Rt△DBF中,∠DFB=90°
,BF=DF=1,
∴DB=.
在△CBD和△COA中,,,.
∴.
∴△CBD∽△COA.
∴∠BCD=∠OCA.
∵∠OCB=45°
即∠OCA与∠OCD两角和的度数为45度.(9分)
本题设计得很精致,将几何与函数完美的结合在一起,对学生综合运用知识的能力要求较高,本题3问之间层层递进,后两问集中研究角度问题.
中等层次的学生能够做出第
(1)问,中上层次的学生可能会作出第
(2)问,但第
(2)问中符合条件的P点有两个,此时学生易忽视其中某一个,成绩较好的学生才可能作出第(3)问,本题是拉开不同层次学生分数的一道好题.
本题考点:
函数图形的平移、一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、相似三角形、等腰直角三角形的判定及性质、勾股定理.
25、(2009•北京)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC三个机战的坐标分别为A(﹣6,0),B(6,0),C(0,4),延长AC到点D,使CD=AC,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.
(1)求D点的坐标;
(2)作C点关于直线DE的对称点F,分别连接DF、EF,若过B点的直线y=kx+b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,确定此直线的解析式;
(3)设G为y轴上一点,点P从直线y=kx+b与y轴的交点出发,先沿y轴到达G点,再沿GA到达A点,若P点在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍,试确定G点的位置,使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短.(要求:
简述确定G点位置的方法,但不要求证明)
坐标与图形变化-对称;
坐标与图形性质。
综合题;
压轴题;
数形结合。
(1)借助△DMC∽△AOC,根据相似三角形的性质得点D的坐标;
(2)先说明四边形CDFE是菱形,且其对称中心为对角线的交点M,则点B与这一点的连线即为所求的直线,再结合全等三角形性质说明即可,由点B、M的坐标求得直线BM的解析式;
(3)过点A作MB的垂线,该垂线与y轴的交点即为所求的点G,再结合由OB、OM的长设法求出∠BAH,借助三角函数求出点G的坐标,本题第三问是难点,学生主要不会确定点G的位置.
(1)∵A(﹣6,0),C(0,4)
∴OA=6,OC=4
设DE与y轴交于点M
由DE∥AB可得△DMC∽△AOC
又CD=AC
∴CM=2,MD=3
同理可得EM=3
∴OM=6
∴D点的坐标为(3,6);
(2)由
(1)可得点M的坐标为(0,6)
由DE∥AB,EM=MD
可得y轴所在直线是线段ED的垂直平分线
∴点C关于直线DE的对称点F在y轴上
∴ED与CF互相垂直平分
∴CD=DF=FE=EC
∴四边形CDFE为菱形,且点M为其对称中心
作直线BM,设BM与CD、EF分别交于点S、点T
可证△FTM≌△CSM
∴FT=CS
∵FE=CD
∴TE=SD
∵EC=DF
∴TE+EC+CS+ST=SD+DF+FT+TS
∴直线BM将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形,
由点B(6,0),点M(0,6)在直线y=kx+b上,可得直线BM的解析式为y=﹣x+6.
(3)确定G点位置的方法:
过A点作AH⊥BM于点H,则AH与y轴的交点为所求的G点
由OB=6,OM=6
可得∠OBM=60°
∴∠BAH=30°
在Rt△OAG中,OG=AO•tan∠BAH=2
∴G点的坐标为.(或G点的位置为线段OC的中点)
本题综合考查了图形的性质和坐标的确定,是综合性较强,难度较大的综合题,其中本题第三问是难点,学生主要不会确定点G的位置.
对第三问的解释:
因为∠OBM=60°
,所以GM=2GH
又因为在y轴上的速度是在直线GA上的两倍,所以在MG线段上花的时间相当于以1倍速度在GH上的时间,总时间就是以一倍速度在线段AH上的时间,
作为对比,在y轴上取另外一点P,做P点到MB的垂线,连接AP
显然,线段A
24、(2010•北京)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+x+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求点B的坐标;
(2)点P在线段OA上,从O点出发向点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E.延长PE到点D.使得ED=PE.以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动)j当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;
k若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F.延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点,N点也随之运动).若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
(1)由抛物线y=﹣x2+x+m2﹣3m+2与x轴的交点分别为原点O,令x=0,y=0,解得m的值,点B(2,n)在这条抛物线上,把该点代入抛物线方程,解得n.
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,求得直线OB的解析式为y=2x,由A点是抛物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标,设P点的坐标为(a,0),根据题意作等腰直角三角形PCD,如图1.可求得点C的坐标,进而求出OP的值,依题意作等腰直角三角形QMN,设直线AB的解析式为y=k2x+b,求出直线AB的解析式,当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以下三种情况,解出各种情况下的时间t.
(1)∵抛物线y=﹣x2+x+m2﹣3m+2经过原点,
∴m2﹣3m+2=0,
解得m1=1,m2=2,
由题意知m≠1,
∴m=2,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x,
∵点B(2,n)在抛物线y=﹣x2+x上,
∴n=4,
∴B点的坐标为(2,4).
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,
求得直线OB的解析式为y=2x,
∵A点是抛物线与x轴的一个交点,可求得A点的坐标为(10,0),
设P点的坐标为(a,0),
则E点
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