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KEYWORDS:
InvertedpendulumstablecontrolLQRalgorithm
三级倒立摆控制系统设计:
倒立摆系统作为现代控制理论应用方面的一个典型实验系统,从六十年代就有许多人对它进行研究,提出了各种控制方案。
倒立摆属于多变、快速、非线性、强耦合、和绝对不稳定系统,通过对它的引入一个合适的控制方法使之成为一个稳定的系统,来检测控制方法对不稳定、非线性和快速快速性系统的处理能力,而且在控制过程中,倒立摆系统能有限地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随机性以及跟踪等许多控制中的关键问题。
本次实验通对倒立摆进行受力分析使用Lagrange方程建立三级倒立摆的数学模型。
然后利用线性二次型最优控制理论设计了三级倒立摆的控制器,并在Simulink中对三级倒立摆进行了系统仿真,研究了三级倒立摆系统的结构参数与控制器性能之间的关系。
进而设计了全维观测器,并进行系统仿真。
最后,对仿真结果进行了分析与研究。
三阶倒立摆示意图
1,三级倒立摆数学建模建立:
小车的质量:
m0=1;
小车与轨道之间的滑动摩擦系数:
f0=5.0kg/s;
下摆的质量:
m1=0.22kg;
下摆半长:
d1=0.304m;
下摆绕其重心的转动惯量:
J1=0.00496kgm2;
中摆的质量:
m2=0.187kg;
中摆半长:
d2=0.226m;
中摆绕其重心的转动惯量:
J2=0.00482kgm2;
上摆的质量:
m3=0.16kg;
上摆半长:
d3=0.2m;
上摆绕其重心的转动惯量:
J3=0.004kgm2;
中、下摆中心之间的距离:
l1=0.49m;
上、中摆中心之间的距离:
l2=0.45m;
上摆和中摆之间的转动摩擦系数:
f3=0.01kg/s;
中摆和下摆之间的转动摩擦系数:
f2=0.01kg/s;
下摆和小车之间的转动摩擦系数:
f1=0.01kg/s;
电位器及功率放大器的增益:
Ku=15Nt/V。
三级倒立摆系统lagrange方程建立,令r为水平导轨运动的位移,分别为下摆、中摆、上摆偏移竖直方向的角度。
(1-1)
时,
T、V、D---分别是系统的动能、势能和耗散能
、、D(1-2)
式中:
n—倒立摆的级数,这里n选择为3
---小车和各级摆的动能
---小车和各级摆的势能
---小车和各级摆的耗散能
=
将上述各式代入式(1-1)得到三级倒立摆的数学模型为
(1-3)
式(1-3)是一个非线性向量微分方程,考虑到系统工作时处于平衡位置附近运动,根据泰勒展开式,可将式(1-3)在u=0平衡位置附近线性化,来代替式(1-3)的非线性向量微分方程。
具体线性化是忽略二次以上的项(sin=,cos=1),可求出关于的线性化微分方程,而后将改写为,即可得到系统的状态方程。
根据物理模型的实际测量数据,可求得平衡点处的三级倒立摆的系数矩阵为
M(0,0,0)=
N(0,0,0,0,0,0)=
由于矩阵比较复杂,因此采用MATLAB进行矩阵运算,可以解得阵
M-1=
所以,式(1-3)的线性化微分方程为
=-(1-4)
令
故式(1-3)可以改写为
(1-5)
定义状态变量为:
则由式(1-5)可得:
(1-6)
根据前面给出物理模型的实际测量数据,可以求得状态方程(1-6)中的系数矩阵为:
A=
B=
C=
2,线性二次型最优控制理论
由上面的推导可知,三级倒立摆的数学模型为:
(2-1)
式中的A,B,C为上面推导的矩阵。
对连续时间线性时不变系统(2-1),构造能控判别矩阵
利用MATLAB,可以求出rank()=8,所以系统(2-1)是完全能控的。
利用MATLAB,可以求出rank()=8,所以系统(2-1)是完全能观测的。
本文设计的三级倒立摆的控制器共有摆个状态变量,其中小车的位移,上摆,中摆,下摆的角度都可以直接测量出来,而小车的速度,上摆,中摆,下摆的角速度可以由所得的测量值通过线性差分方程直接得到。
最优控制器设计
三级倒立摆最优控制器的形式
下面对三级倒立摆系统设计控制器,它是一个八个状态变量输入,一个控制变量输出的控制器。
另外,经过分析可知,三级倒立摆系统是一个对中断误差没有要求,且不包含末值控制指标的线性时不变系统,因此,性能指标可以取为
式中,为状态变量,为控制变量,加权阵为对称非负定常矩阵,一般选择为半正定的对角阵,加权阵为正定常矩阵。
根据线性二次型最优控制理论,对无限时间时不变LQ调节问题,可以组成对应的黎卡提代数方程
式中,A、B分别为三级倒立摆的系统状态矩阵,P为上述方程的解阵,其为一个的正定对称阵。
把上面所求得的解阵P代入下式
即可得到反馈矩阵K,则系统的控制解为
下面选取加权阵Q,R。
加权阵Q,R的选择
在最优控制器的设计中,Q和R的选择方法在上面已经提及了。
因为三级倒立摆控制器也是一个单输入的,R成为标量,直接选择为R=1。
下面根据仿真机试验确定Q。
因为对于三级倒立摆这样一个高阶、绝对不稳定的系统,相对于响应速度而言,上摆、中摆、下摆的稳定性是控制系统设计所面临的主要矛盾。
因此在选择Q阵时,角位移相对应的加权系数因取较大值,而角速度对应的加权系数取较小值。
上、中、下摆稳定是通过小车的移动来实现的。
因此对小车位置r变化范围不要控制过于严格,以免在扰动过大时失去调节作用。
所以r对应的加权系数取值要尽量小些。
在控制过程中,希望小车有较快的响应速度,来快速调节小车使摆不到,所以小车速度的加权系数因取较大的值。
根据上面的要求,综合考虑系统的控制能量要求,经过试验,取Q和R为:
R=1
反馈矩阵K的求解
对于系统,直接使用MATLAB求解代数黎卡提方程的命令为lqrd(A,B,Q,R,),得到P阵
P=
将求得的P矩阵代入式,得到反馈矩阵
采样周期取为
3全维状态观测器设计
利用状态反馈作为控制的输入时,需要用传感器测量状态变量以实现反馈。
但是在许多情况下,通常只有被控对象的输入量和输出量能够用传感器测量,而多数状态变量不易测量或不可能测得,于是提出了利用被控对象的输入量和输出量建立状态观测器(又称为状态估计器,状态重构器)来重构状态的问题,当重构状态向量的维数等于被控对象状态向量的维数时,称为全维状态观测器。
全维观测器构建方案
假设被控对象动态方程为:
(3-1)
构造一个动态方程与式(3-1)相同而且能用计算机实现的模拟被控系统
(3-2)
式中,,分别为模拟系统的状态向量和输出向量,是被控对象状态向量和输出向量的估值。
当模拟系统与被控对象的初始状态相同时,在同一输入作用下,有,可以利用作为状态反馈所需要的信息。
但是当被控对象的初始状态可能不相同时,模拟系统中积分器初始条件的设置只能预估,因而两个系统的初始状态总是有差异的,即使两个系统的A,B,C,阵完全一致,也必定存在估计状态与被控对象实际状态的误差,难以实现所需要的状态反馈。
但是的存在必然导致了()的存在,而被控系统的输出量总是可以利用传感器测量的,于是可以根据一般的反馈控制原理,将()负反馈至处,控制()尽快逼近于零,从而使尽快逼近于零,便可以利用来形成状态反馈。
按照上原理构建的状态观测器及其实现状态反馈的结构图如图所示,
状态观测器及其实现状态反馈结构图
状态观测器有两个输入,即u和y,输出为。
状态观测器含有n个积分器并对全部状态变量作出估计。
H为观测器输出矩阵,它把()负反馈至处,是为配置观测器极点,提高其动态性能,即使尽快逼近于零而引入的。
全维状态观测器分析设计
由图上图可以列出全维状态观测器动态方程
(3-3)
故有(3-4)
式中,称为观测器系统矩阵。
观测器分析设计的关键问题是能否在任何初始状态条件下,即尽管与不同,但总能保证
(3-5)
成立。
只有满足式(3-5),状态反馈系统才能正常工作,式(3-3)所示系统才能作为实际的状态观测器,故式(3-5)称为观测器存在条件。
由式(3-4)和(3-1)可得
(3-6)
其解为(3-7)
显而
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- 倒立