因式分解地常用方法方法最全最详细文档格式.docx
- 文档编号:15110089
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:24
- 大小:434.34KB
因式分解地常用方法方法最全最详细文档格式.docx
《因式分解地常用方法方法最全最详细文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《因式分解地常用方法方法最全最详细文档格式.docx(24页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(3)(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3---------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);
(4)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3--------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
下面再补充两个常用的公式:
(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2;
(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca);
例.已知是的三边,且,
则的形状是()
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形
解:
三、分组分解法.
(一)分组后能直接提公因式
例1、分解因式:
分析:
从“整体”看,这个多项式的各项既没有公因式可提,也不能运用公式分解,但从“局部”看,这个多项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组,后两项分为一组先分解,然后再考虑两组之间的联系。
原式=
=每组之间还有公因式!
=
例2、分解因式:
解法一:
第一、二项为一组;
解法二:
第一、四项为一组;
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=原式=
==
练习:
分解因式1、2、
(二)分组后能直接运用公式
例3、分解因式:
若将第一、三项分为一组,第二、四项分为一组,虽然可以提公因式,但提完后就能继续分解,所以只能另外分组。
解:
原式=
=
例4、分解因式:
分解因式3、4、
综合练习:
(1)
(2)
(3)(4)
(5)(6)
(7)(8)
(9)(10)
(11)(12)
四、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——进行分解。
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
思考:
十字相乘有什么基本规律?
例.已知0<≤5,且为整数,若能用十字相乘法分解因式,求符合条件的.
解析:
凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c,都要求>
0而且是一个完全平方数。
于是为完全平方数,
例5、分解因式:
将6分成两个数相乘,且这两个数的和要等于5。
由于6=2×
3=(-2)×
(-3)=1×
6=(-1)×
(-6),从中可以发现只有2×
3的分解适合,即2+3=5。
12
=13
=1×
2+1×
3=5
用此方法进行分解的关键:
将常数项分解成两个因数的积,且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式:
原式=1-1
=1-6
(-1)+(-6)=-7
练习5、分解因式
(1)
(2)(3)
练习6、分解因式
(1)
(2)(3)
(二)二次项系数不为1的二次三项式——
条件:
(1)
(2)
(3)
分解结果:
=
例7、分解因式:
1-2
3-5
(-6)+(-5)=-11
练习7、分解因式:
(3)(4)
(三)二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式:
将看成常数,把原多项式看成关于的二次三项式,利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+(-16b)=-8b
练习8、分解因式
(1)
(2)(3)
(四)二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
(-3y)+(-4y)=-7y(-1)+(-2)=-3
原式=解:
练习9、分解因式:
综合练习10、
(1)
(2)
(7)(8)
(9)(10)
分解因式:
五、换元法。
(1)、换单项式
例1分解因式x6+14x3y+49y2.
注意到x6=(x3)2,若把单项式x3换元,设x3=m,则x6=m2,原式变形为
m2+14my+49y2=(m+7y)2=(x3+7y)2.
(2)、换多项式
例2分解因式(x2+4x+6)+(x2+6x+6)+x2.
本题前面的两个多项式有相同的部分,我们可以只把相同部分换元,设x2+6=m,则x2+4x+6=m+4x,x2+6x+6=m+6x,原式变形为
(m+4x)(m+6x)+x2=m2+10mx+24x2+x2=m2+10mx+25x2
=(m+5x)2=(x2+6+5x)2
=[(x+2)(x+3)]2=(x+2)2(x+3)2.
以上这种换元法,只换了多项式的一部分,所以称为“局部换元法”.当然,我们还可以把前两个多项式中的任何一个全部换元,就成了“整体换元法”.比如,设x2+4x+6=m,则x2+6x+6=m+2x,原式变形为
m(m+2x)+x2=m2+2mx+x2=(m+x)2=(x2+4x+6+x)2=(x2+5x+6)2
另外,还可以取前两个多项式的平均数进行换元,这种换元的方法被称为“均值换元法”,可以借用平方差公式简化运算.对于本例,设m=[(x2+4x+6)+(x2+6x+6)]=x2+5x+6,则x2+4x+6=m-x,x2+6x+6=m+x,
(m+x)(m-x)+x2=m2-x2+x2=m2=(x2+5x+6)2=[(x+2)(x+3)]2
=(x+2)2(x+3)2.
例3分解因式(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)+24.
这道题的前面是四个多项式的乘积,可以把它们分成两组相乘,使之转化成为两个多项式的乘积.无论如何分组,最高项都是x2,常数项不相等,所以只能设法使一次项相同.因此,把(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)分组为[(x-1)(x+2)][(x-3)(x+4)]=(x2+x-2)(x2+x-12),从而转化成例2形式加以解决.
我们采用“均值换元法”,设m=[(x2+x-2)+(x2+x-12)]=x2+x-7,则x2+x-2=m+5,x2+x-2=m-5,原式变形为
(m+5)(m-5)+24=m2-25+24=m2-1=(m+1)(m-1)=(x2+x-7+1)(x2+x-7-1)
=(x2+x-6)(x2+x-8)=(x-2)(x+3)(x2+x-8).
(3)、换常数
例1分解因式x2(x+1)-2003×
2004x.
此题若按照一般思路解答,很难奏效.注意到2003、2004两个数字之间的关系,把其中一个常数换元.比如,设m=2003,则2004=m+1.于是,原式变形为
x2(x+1)–m(m+1)x=x[x(x+1)-m(m+1)]=x(x2+x-m2-m)
=x[(x2-m2)+(x-m)]=x[(x+m)(x-m)+(x-m)]
=x(x-m)(x+m+1)=x(x-2003)(x+2003+1)=x(x-2003)(x+2004).
例13、分解因式
(1)
(2)
(1)设2005=,则原式=
(2)型如的多项式,分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=
设,则
∴原式==
==
练习13、分解因式
(1)
(2)
(3)
例14、分解因式
(1)
观察:
此多项式的特点——是关于的降幂排列,每一项的次数依次少1,并且系数成“轴对称”。
这种多项式属于“等距离多项式”。
方法:
提中间项的字母和它的次数,保留系数,然后再用换元法。
原式==
(2)
设,则
∴原式==
练习14、
(1)
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
(1)
解法1——拆项。
解法2——添项。
======
==
练习15、分解因式
七、待定系数法。
例16、分解因式
原式的前3项可以分为,则原多项式必定可分为
设=
∵=
∴=
对比左右两边相同项的系数可得,解得
∴原式=
例17、
(1)当为何值时,多项式能分解因式,并分解此多项式。
(2)如果有两个因式为和,求的值。
(1)分析:
前两项可以分解为,故此多项式分解的形式必为
则=
比较对应的系数可得:
,解得:
或
∴当时,原多项式可以分解;
当时,原式=;
当时,原式=
(2)分析:
是一个三次式,所以它应该分成三个一次式相乘,因此第三个因式必为形如的一次二项式。
∴解得,
∴=21
练习17、
(1)分解因式
(2)分解因式
(3)已知:
能分解成两个一次因式之积,求常数并且分解因式。
(4)为何值时,能分解成两个一次因式的乘积,并分解此多项式。
第二部分:
习题大全
经典一:
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式,叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式:
m3-4m=.
3.分解因式:
x2-4y2=_______.
4、分解因式:
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为(x2+y2)(x+y)(x-y),则n的值为.
6、若,则=_________,=__________。
二、选择题
7、多项式的公因式是()
A、B、C、D、
8、下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是()
A、B、
C、D、
10.下列多项式能分解因式的是()
(A)x2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+4
11.把(x-y)2-(y-x)分解因式为()
A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)
C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)
12.下列各个分解因式中正确的是()
A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)
B.(a-b)2-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)
C.x(b+c-
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 因式分解 常用 方法 最全最 详细