解析分类汇编系列四北京高三期末文数5数列Word文件下载.docx
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是等差数列。
.(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)定义映射,其中,,已知对所有的有序正整数对满足下述条件:
①,②若,;
③
则;
.
根据定义得。
,,,所以根据归纳推理可知。
.(北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题)右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列,从第三行起,每一行数成等比数列,而且每一行的公比都相等,记第行第列的数为(),则等于,.
由题意可知第一列首项为,公差,第二列的首项为,公差,所以,,所以第5行的公比为,所以。
由题意知,,所以第行的公比为,所以
.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题)数列是公差不为0的等差数列,且,则
在等差数列中,由得,即,所以。
.(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题)任給实数定义设函数,则=___;
若是公比大于的等比数列,且,则
;
因为,所以。
因为,所以,所以。
若,则有,所以。
此时,即,所以,所以。
而。
在等比数列中因为,所以,即,所以,所以,若,则,即,解得。
若,则,即,因为,所以,所以方程无解。
综上可知。
.(北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题)在等差数列中,若,前5项的和,则 .
在等差数列中,,解得,所以。
.(北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版))某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入运营,据市场分析每辆客车运营前年的总利润(单位:
万元)与之间的关系为.当每辆客车运营的年平均利润最大时,的值为.
由题意知年平均利润,因为,当且仅当,即时取等号。
所以,所以。
三、解答题
.(北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习
(二)数学(文)试题)已知函数,当时,的值中所有整数值的个数记为.
(Ⅰ)求的值,并求的表达式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和;
(Ⅲ)设,,若对任意的,都有
成立,求的最小值.
(共14分)
解:
(Ⅰ)当时,在上递增,
所以,,
因为在上单调递增,
所以,,
从而
(Ⅱ)因为,
所以
.---------------------
当是偶数时,
;
当是奇数时,
(Ⅲ),
错位相减得,
所以,
因为,
若对任意的,都有成立,则,
所以,的最小值为
.(北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题)定义:
如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长,则称为“三角形”数列.对于“三角形”数列,如果函数使得仍为一个“三角形”数列,则称是数列的“保三角形函数”.
(Ⅰ)已知是首项为,公差为的等差数列,若是数列的
“保三角形函数”,求的取值范围;
(Ⅱ)已知数列的首项为,是数列的前n项和,且满足,证明是“三角形”数列;
(Ⅲ)若是(Ⅱ)中数列的“保三角形函数”,问数列最多有多少项?
(解题中可用以下数据:
)
(Ⅰ)显然对任意正整数都成立,即是三角形数列.
因为,显然有,
由得
解得.
所以当时,
是数列的保三角形函数.…………………3分
(Ⅱ)由,得,
两式相减得,所以……5分
经检验,此通项公式满足.
显然,
因为,
所以是三角形数列.…………………8分
(Ⅲ),
所以是单调递减函数.
由题意知,①且②,
由①得,解得,
由②得,解得.
即数列最多有26项.…13分
.(北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题)已知每项均是正整数的数列,其中等于的项有个,设,
(Ⅰ)设数列,
①求;
②求的值;
(Ⅱ)若中最大的项为50,比较的大小.
(I)①因为数列,
所以,
所以.………8分
②……….10分
(II)一方面,,
根据的含义知,
故,即,
当且仅当时取等号.
因为中最大的项为50,所以当时必有,
所以
即当时,有;
当时,有.14分
.(北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题)将正整数()任意排成行列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数()的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.
(Ⅰ)当时,试写出排成的各个数表中所有可能的不同“特征值”;
(Ⅱ)若表示某个行列数表中第行第列的数(,),且满足请分别写出时数表的“特征值”,并由此归纳此类数表的“特征值”(不必证明);
(Ⅲ)对于由正整数排成的行列的任意数表,若某行(或列)中,存在两个数属于集合,记其“特征值”为,求证:
证明:
(Ⅰ)显然,交换任何两行或两列,特征值不变.
可设在第一行第一列,考虑与同行或同列的两个数只有三种可能,或或.
得到数表的不同特征值是或……………………………………………3分
7
1
4
5
8
2
3
6
(Ⅱ)当时,数表为
此时,数表的“特征值”为……………………………………………………4分
13
10
14
11
15
12
16
当时,数表为
此时,数表的“特征值”为.………………………………………………………5分
21
17
22
18
23
19
24
20
25
当时,数表为
此时,数表的“特征值”为.………………………6分
猜想“特征值”为.…………………………………………………………………7分
(Ⅲ)设()为该行(或列)中最大的两个数,则,
因为
所以,从而…………………………………………13分
.(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)已知为等比数列,其前项和为,且.
(Ⅰ)求的值及数列的通项公式;
(Ⅱ)若,求数列的前项和.
(Ⅰ)当时,.……………………………………1分
当时,.……………………………………………3分
因为是等比数列,
所以,即..…………………………………5分
所以数列的通项公式为.…………………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,设数列的前项和为.
则.①
.②
①-②得……………………9分
……………………………………11分
.…………………………………………………12分
所以.……………………………………………………………13分
.(北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)已知实数组成的数组满足条件:
①;
②.
(Ⅰ)当时,求,的值;
(Ⅱ)当时,求证:
(Ⅲ)设,且,
求证:
.
(Ⅰ)
由
(1)得,再由
(2)知,且.
当时,.得,所以……………………………2分
当时,同理得………………………………………………4分
(Ⅱ)证明:
当时,
由已知,.
.………………………………………………9分
(Ⅲ)证明:
因为,且.
所以,
即.……………………………11分
.……………………………………………………………14分
.(北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题)(本题共14分)已知曲线,是曲线C上的点,且满足,一列点在x轴上,且是坐标原点)是以为直角顶点的等腰直角三角形.
(Ⅰ)求、的坐标;
(Ⅱ)求数列的通项公式;
(Ⅲ)令,是否存在正整数N,当n≥N时,都有,若存在,求出N的最小值;
若不存在,说明理由.
(Ⅰ)∵∆B0A1B1是以A1为直角顶点的等腰直角三角形,
∴直线B0A1的方程为y=x.
由得,,得A1(2,2),.….…….…….…......3分
(Ⅱ)根据和分别是以和为直角顶点的等腰直角三角形可得,,即.(*)…….………………………..5分
∵和均在曲线上,
∴,
∴,代入(*)式得,
∴().……………………………………………..…..….…..7分
∴数列是以为首项,2为公差的等差数列,
故其通项公式为().…………....…………………………...……..8分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,,….……………………………………………9分
∴,……………………..……………………………….…10分
∴,,
∴
==,…………….……..11分
.…………………….……12分
欲使,只需<
,
只需,………………………………………………….…………13分
,
∴不存在正整数N,使n≥N时,成立.…………………….14分
.(北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题)现有一组互不相同且从小到大排列的数据,其中.记,,作函数,使其图象为逐点依次连接点的折线.
(Ⅰ)求和的值;
(Ⅱ)设直线的斜率为,判断的大小关系;
当时,.
(Ⅰ),………………………………2分
………………………………4分
(Ⅱ)解:
,.………………………………6分
因为 ,
所以 .………………………………8分
(Ⅲ)证:
由于的图象是连接各点的折线,要证明,只需证明.…………9分
事实上,当时,
.
下面证明.
法一:
对任何,
………………10分
…………………………12分
所以 .…………………………13分
法二:
………………………………………10分
综上,.………………………………………13分
.(北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题)如图,设是由个实数组成的行列的数表,其中表示位于第行第列的实数,且.记为所有这样的数表构成的集合.
对于,记为的第行各数之积,为的第列各数之积.令.
(Ⅰ)对如下数表,求的值;
存在,使得,其中;
(Ⅲ)给定为奇数,对于所有的,证明:
(Ⅰ),;
,,
所以.………………3分
(ⅰ)对数表:
,显然.
将数表中的由变为,得到数表,显然.
依此类推,将数表中的由变为,得到数表.
即数表满足:
,其余.
所以,.
所以,其中.……………7分
【注:
数表不唯一】
用反证法.
假设存在,其中为奇数,使得.
因为,,
所以,,,,,,,这个数中有个,个.
令.
一方面,由于这个数中有个,个,从而.①
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