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三、课堂备用练习题。
1、计算:
1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、计算:
1×
2+2×
3+3×
4+…+n(n+1)
3、计算:
4、已知为非负整数,且满足,求的所有可能值。
5、若三个有理数满足,求的值。
第二讲数系扩张--有理数
(二)
一、【能力训练点】:
1、绝对值的几何意义
①表示数对应的点到原点的距离。
②表示数、对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
1、
(1)若,化简
(2)若,化简
2、设,且,试化简
3、、是有理数,下列各式对吗?
若不对,应附加什么条件?
(1)
(2)
(3)(4)若则
(5)若,则(6)若,则
4、若,求的取值范围。
5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C,如果,那么B点在A、C的什么位置?
6、设,求的最小值。
7、是一个五位数,,求的最大值。
8、设都是有理数,令
,试比较M、N的大小。
三、【课堂备用练习题】:
1、已知求的最小值。
2、若与互为相反数,求的值。
3、如果,求的值。
4、是什么样的有理数时,下列等式成立?
5、化简下式:
第三讲数系扩张--有理数(三)
1、运算的分级与运算顺序;
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
(1)加法法则:
同号相加取同号,并把绝对值相加;
异号相加取绝对值较大数的符号,并用较大绝对值减较小绝对值;
一个数同零相加得原数。
(2)减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
(3)乘法法则:
几个有理数相乘,奇负得负,偶负得正,并把绝对值相乘。
(4)除法法则:
除以一个数,等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题,养成良好思维习惯及解题习惯。
2、计算:
(1)、
(2)、(-18.75)+(+6.25)+(-3.25)+18.25
(3)、(-4)+
①
②
4、化简:
计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)-4.035×
12+7.535×
12-36×
()
5、计算:
(1)
(2)(3)
6、计算:
7、计算:
:
第四讲数系扩张--有理数(四)
3、巧算的一般性技巧:
①凑整(凑0);
②巧用分配律
③去、添括号法则;
④裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
2、
①
4、化简:
并求当时的值。
6、比较与2的大小。
8、已知、是有理数,且,含,,,请将按从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】:
1、计算
(1)
(2)
4、如果,求代数式的值。
5、若、互为相反数,、互为倒数,的绝对值为2,求的值。
第五讲代数式
(一)
(1)列代数式;
(2)代数式的意义;
(3)代数式的求值(整体代入法)
1、用代数式表示:
(1)比的和的平方小的数。
(2)比的积的2倍大5的数。
(3)甲乙两数平方的和(差)。
(4)甲数与乙数的差的平方。
(5)甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
(6)甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
(7)比的平方的2倍小1的数。
(8)任意一个偶数(奇数)
(9)能被5整除的数。
(10)任意一个三位数。
2、代数式的求值:
(1)已知,求代数式的值。
(2)已知的值是7,求代数式的值。
(3)已知;
,求的值
(4)已知,求的值。
(5)已知:
当时,代数式的值为2007,求当时,代数式的值。
(6)已知等式对一切都成立,求A、B的值。
(7)已知,求的值。
(8)当多项式时,求多项式的值。
3、找规律:
Ⅰ.
(1);
(2)
(3)(4)
第N个式子呢?
Ⅱ.已知;
;
若
(、为正整数),求
Ⅲ.猜想:
1、若个人完成一项工程需要天,则个人完成这项工程需要多少天?
2、已知代数式的值为8,求代数式的值。
3、某同学到集贸市场买苹果,买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半,而余下的钱都买了每千克2元的苹果,则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元?
4、已知求当时,
第六讲代数式
(二)
(1)同类项的合并法则;
(2)代数式的整体代入求值。
1、已知多项式经合并后,不含有的项,求的值。
2、当达到最大值时,求的值。
3、已知多项式与多项式N的2倍之和是,求N?
4、若互异,且,求的值。
5、已知,求的值。
6、已知,求的值。
7、已知均为正整数,且,求的值。
8、求证等于两个连续自然数的积。
9、已知,求的值。
10、一堆苹果,若干个人分,每人分4个,剩下9个,若每人分6个,最后一个人分到的少于3个,问多少人分苹果?
1、已知,比较M、N的大小。
,。
2、已知,求的值。
3、已知,求K的值。
4、,比较的大小。
第七讲发现规律
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过:
“先从少数的事例中摸索出规律来,再从理论上来证明这一规律的一般性,这是人们认识客观法则的方法之一”。
这种以退为进,寻找规律的方法,对我们解某些数学问题有重要指导作用,下面举例说明。
能力训练点:
观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例题解析】
1、观察算式:
按规律填空:
1+3+5+…+99=?
,1+3+5+7+…+?
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。
观察图形的变化规律,写出第个小房子用了多少块石子?
3、用黑、白两种颜色的正六边形地面砖(如图所示)的规律,拼成若干个图案:
(1)第3个图案中有白色地面砖多少块?
(2)第个图案中有白色地面砖多少块?
4、观察下列一组图形,如图,根据其变化规律,可得第10个图形中三角形的个数为多少?
第个图形中三角形的个数为多少?
5、观察右图,回答下列问题:
(1)图中的点被线段隔开分成四层,则第一层有1个点,第二层有3个点,第三层有多少个点,第四层有多少个点?
(2)如果要你继续画下去,那第五层应该画多少个点,第n层有多少个点?
(3)某一层上有77个点,这是第几层?
(4)第一层与第二层的和是多少?
前三层的和呢?
前4层的和呢?
你有没有发现什么规律?
根据你的推测,前12层的和是多少?
6、读一读:
式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和,由于上述式子比较长,书写也不方便,为了简便起见,我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为,这里“”是求和符号,例如“1+3+5+7+9+…+99”(即从1开始的100以内的连续奇数的和)可表示为又如“”可表示为,同学们,通过以上材料的阅读,请解答下列问题:
(1)2+4+6+8+10+…+100(即从2开始的100以内的连续偶数的和)用求和符号可表示为;
(2)计算:
=(填写最后的计算结果)。
7、观察下列各式,你会发现什么规律?
3×
5=15,而15=42-15×
7=35,而35=62-1……
11×
13=143,而143=122-1……
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。
8、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式,并算出13+23+33+…+1003的值。
三、【跟踪训练题】1
1、有一列数其中:
=6×
2+1,=6×
3+2,=6×
4+3,=6×
5+4;
…则第个数=,当=2001时,=。
2、将正偶数按下表排成5列
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行
2
4
6
8
第二行
16
14
12
10
第三行
18
20
22
24
……
28
26
根据上面的规律,则2006应在行列。
3、已知一个数列2,5,9,14,20,,35…则的值应为:
()
4、在以下两个数串中:
1,3,5,7,…,1991,1993,1995,1997,1999和1,4,7,10,…,1990,1993,1996,1999,同时出现在这两个数串中的数的个数共有()个。
A.333B.334C.335D.336
5、学校阅览室有能坐4人的方桌,如果多于4人,就把方桌拼成一行,2张方桌拼成一行能坐6人(如右图所示)按照这种规定填写下表的空格:
拼成一行的桌子数
1
3
…
n
人数
6、给出下列算式:
观察上面的算式,你能发现什么规律,用代数式表示这个规律:
7、通过计算探索规律:
152=225可写成100×
(1+1)+25
252=625可写成100×
2×
(2+1)+25
352=1225可写成100×
(3+1)+25
452=2025可写成100×
4×
(4+1)+25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得:
(10n+5)2=
根据猜想计算:
19952=
8、已知,计算:
112+122+132+…+192=;
9、从古到今,所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式,有位学者提出:
当n是自然数时,代数式n2+n+41所表示的是质数。
请验证一下,当n=40时,n2+n+41的值是什么?
这位学者结论正确吗?
第八讲综合练习
(一)
1、若,求的值。
2、已知与互为相反数,求。
3、已知,求的范围。
4、判断代数式的正负。
5、若,求的值。
6、若,求
7、已知,化简
8、已知互为相反数,互为倒数,的绝对值等于2,P是数轴上的表示原点的数,求的值。
9、问□中应填入什么数时,才能使
10、在数轴上的位置如图所示,
化简:
11、若,求使成立的的取值范围。
12、计算:
13、已知,,,求。
14、已知,求、的
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