数字信号处理 答案 第二章Word文档格式.docx
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h(n)=-(n)+2(n-1)+(n-2)
y(n)=-2(n)+5(n-1)=(n-3)
(c)y(n)===u(n)
2.3计算线性线性卷积
(1)y(n)=u(n)*u(n)
(2)y(n)=u(n)*u(n)
解:
(1)y(n)=
==(n+1),n≥0
即y(n)=(n+1)u(n)
(2)y(n)=
==,n≥0
即y(n)=u(n)
2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为h(n)和h(n)的两个线性非移变系统的级联,已知x(n)=u(n),h(n)=(n)-(n-4),h(n)=au(n),|a|<
1,求系统的输出y(n).
解(n)=x(n)*h(n)
=[(n-k)-(n-k-4)]
=u(n)-u(n-4)
y(n)=(n)*h(n)
=[u(n-k)-u(n-k-4)]
=,n≥3
2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=au(-n),0<
a<
1用直接计算线性卷积的方法,求系统的单位阶跃响应。
2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。
证明
(1)交换律
X(n)*y(n)=
令k=n-t,所以t=n-k,又-<
k<
所以-<
t<
因此线性卷积公式变成
`x(n)*y(n)=
==y(n)*x(n)
交换律得证.
(2)结合律
[x(n)*y(n)]*z(n)
=[]*z(n)
=[]z(n-t)
=x(k)y(t-k)z(n-t)
=x(k)y(m)z(n-k-m)
=x(k)[y(n-k)*z(n-k)]
=x(n)*[y(n)*z(n)]
结合律得证.
(3)加法分配律
x(n)*[y(n)+z(n)]
=x(k)[y(n-k)+z(n-k)]
=x(k)y(n-k)+x(k)z(n-k)
=x(n)*y(n)+x(n)*z(n)
加法分配律得证.
2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。
并加以证明
(1)y(n)=2x(n)+3
(2)y(n)=x(n)sin[n+]
(3)y(n)=(4)y(n)=
(5)y(n)=x(n)g(n)
解
(1)设y(n)=2x(n)+3,y(n)=2x(n)+3,由于
y(n)=2[x(n)+x(n)]+3
≠y(n)+y(n)
=2[x(n)+x(n)]+6
故系统不是线性系统。
由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而
y(n-k)=T[x(n-k)]
故该系统是非移变系统。
设|x(n)|≤M,则有
|y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<
∞
故该系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
(2)设y1(n)=ax1(n)sin[n+]
y2(n)=bx2(n)sin[n+]
由于y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]
=[ax1(n)+bx2(n)]sin[n+]
=ax1(n)sin[n+]+bx2(n)sin[n+]
=ay1(n)+by2(n)
故该系统是线性系统。
由于y(n-k)=x(n-k)sin[(n-k)+]
T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+]
因而有T[x(n-k)]≠y(n-k)
帮该系统是移变系统。
设|x(n)|≤M,则有
|y(n)|=|x(n)sin[(n-k)+]|
=|x(n)||sin[(n-k)+]|
≤M|sin[(n-k)+]|≤M
故系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
(3)设y1(n)=,y2(n)=,由于
y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=
=a+b=ay1(n)+by2(n)
因y(n-k)==
=T[x(n-t)]
所以该系统是非移变系统。
设x(n)=M<
∞y(n)==∞,所以该系统是不稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于未来的输入,故该系统是因果系统。
(4)设y1(n)=,y2(n)=,由于
=a+b=ay1(n)+by2(n)
≠T[x(n-t)]=
所以该系统是移变系统。
设x(n)=M,则y(n)=(n-n)M=,所以该系统不是稳定系统。
显而易见,若n≥n。
则该系统是因果系统;
若n<
n。
则该因果系统是非因果系统。
(5)设y(n)=x(n)g(n),y(n)=x(n)g(n),由于
y(n)=T[ax(n)+bx(n)]=(ax(n)+bx(n))g(n)
=ax(n)g(n)+b(n)=ay(n)+by(n)
故系统是线性系统。
因y(n-k)=x(n-k),而
T[x(n-k)]=x(n-k)g(n)≠y(n-k)
所以系统是移变系统。
设|x(n)|≤M<
则有
|y(n)|=|x(n)g(n)|=M|g(n)|
所以当g(n)有限时该系统是稳定系统。
因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n),不取决于本来的输入,故该系统是因果系统。
2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性
(1)h(n)=2u(-n)(4)h(n)=()u(n)
(2)h(n)=-au(-n-1)(5)h(n)=u(n)
(3)h(n)=(n+n),n≥0(6)h(n)=2Ru(n)
解
(1)因为在n<
0时,h(n)=2≠0,故该系统不是因果系统。
因为S=|h(n)|=|2|=1<
,故该系统是稳定系统。
(2)因为在n<
O时,h(n)≠0,故该系统不是因果系统。
因为S=|h(n)|=|a|=a,故该系统只有在|a|>
1时才是稳定系统。
(3)因为在n<
因为S=|h(n)|=|(n+n)|=1<
(4)因为在n<
O时,h(n)=0,故该系统是因果系统。
因为S=|h(n)|=|()|<
(5)因为在n<
O时,h(n)=u(n)=0,故该系统是因果系统。
因为S=|h(n)|=|u(n)|==,故该系统不是稳定系统。
(6)因为在n<
因为S=|h(n)|=|2|=2-1<
2.9已知y(n)-2cosy(n-1)+y(n-2)=0,且y(0)=0,y
(1)=1,求证y(n)=
证明题给齐次差分方程的特征方程为
-2cos·
+1=0
由特征方程求得特征根
=cos+jsin=e,=cos-jsin=e
齐次差分方程的通解为
y(n)=c+c=ce+ce
代入初始条件得
y(0)=c+c=0
y
(1)=ce+ce=1
由上两式得到
c==,c=-c=-
将c和c代入通解公式,最后得到
y(n)=ce+ce=(e+e)=
2.10已知y(n)+2y(n-1)+(n-2)=0,且y(0)=0,y
(1)=3,y
(2)=6,y(3)=36,求y(n)
解首先由初始条件求出方程中得系数a和b
由
可求出a=-1,b=-8
于是原方程为
y(n)-2y(n-1)-iy(n-2)=0
由特征方程-2-8=0求得特征根
=4,=-2
齐次差分方程得通解为
y(n)=c+c=c4+c(-2)
y(n)=c+c=4+2=3
由上二式得到
c=,c=-
y(n)=c+c=[4-(-2)]
2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程:
y(n)-y(n-1)-y(n-2)=0,且y(0)=1,y
(1)=1
解由特征方程--1=0求得特征根
=,=
通解为y(n)=c+c=c()+c()
求出c=,c=
最后得到通解
y(n)=c()+c()
=[()-()]
2.12一系统的框图如图P2.12所示,试求该系统的单位取样响应h(n)和单位阶跃响应
解由图可知
y(n)=x(n)+y(n-1)
为求单位取样响应,令x(n)=(n),于是有
h(n)=(n)+h(n-1)
由此得到
h(n)==u(n)
阶跃响应为
y(n)=h(n)*u(n)=y(k)u(n-k)
=u(n)
2.13设序列x(n)的傅立叶变换为X(e),求下列各序列的傅立叶变换
解
(1)F[ax(n)+bx(n)]=aX(e)+bX(e)
(2)F[x(n-k)]=eX(e)
(3)F[ex(n)]=X[e]
(4)F[x(-n)]=X(e)
(5)F[x(n)]=X(e)
(6)F[x(-n)]=X(e)
(7)
(8)jIm[x(n)]=[X(e)-X(e)]
(9)X(e)*X(e)
(10)j
2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述
y(n)-y(n-1)=x(n)+x(n-1)
(1)求该系统的单位取样响应h(n)
(2)用
(1)得到的结果求输入为x(n)=e时系统的响应
(3)求系统的频率响应
(4)求系统对输入x(n)=cos(n+)的响应
解
(1)令X(n)=δ(n),得到
h(n)-h(n-1)/2=δ(n)+δ(n-1)/2
由于是因果的线性非移变系统,故由上式得出
h(n)=h(n-1)/2+δ(n)+δ(n-1)/2,n≥0
递推计算出
h(-1)=0
h(0)=h(-1)/2+δ(0)=1
h
(1)=h(0)/2+1/2=1
h
(2)=h
(1)/2=1/2
h(3)=h
(2)
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