学业质量标准检测12Word格式.docx
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淄博三模)在平面几何里有射影定理:
设三角形ABC的两边AB⊥AC,D是A点在BC上的射影,则AB2=BD·
BC.拓展到空间,在四面体A-BCD中,AD⊥面ABC,点O是A在面BCD内的射影,且O在△BCD内,类比平面三角形射影定理,得出正确的结论是( A )
A.(S△ABC)2=S△BCO·
S△BCD
B.(S△ABD)2=S△BOD·
S△BOC
C.(S△ADC)2=S△DOC·
D.(S△BDC)2=S△ABD·
S△ABC
[解析] 由已知在平面几何中,
若△ABC中,AB⊥AC,AE⊥BC,E是垂足,
则AB2=BD·
BC,
我们可以类比这一性质,推理出:
若三棱锥A-BCD中,AD⊥面ABC,AO⊥面BCD,O为垂足,
则(S△ABC)2=S△BOC·
S△BDC.
故选A.
4.下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( D )
A.6+6·
7kB.2+7k-1
C.2(2+7k+1)D.3(2+7k)
[解析] 特值法:
当k=1时,显然只有3(2+7k)能被9整除,故选D.
证明如下:
当k=1时,已验证结论成立,
假设当k=n(n∈N*)时,命题成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36.
∵3(2+7n)能被9整除,36能被9整除,
∴21(2+7n)-36能被9整除,
这就是说,k=n+1时命题也成立.
故命题对任何k∈N*都成立.
5.函数f(x)在其定义域内可导,其图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为( C )
[解析] 由图象知,f(x)在x<
0时,图象增→减→增,x>
0时,单调递增,故f′(x)在x<
0时,其值为+→-→+,在x>
0时为+,故选C.
6.如果1N能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为( A )
A.0.18JB.0.26J
C.0.12JD.0.28J
[解析] 设F(x)=kx,当F(x)=1时,x=0.01m,则k=100,∴W=∫100xdx=50x2|=0.18.
7.定义一种运算“*”;
对于自然数n满足以下运算性质:
( A )
(i)1]B.n+1
C.n-1D.n2
[解析] 令an=n*1,则由(ii)得,an+1=an+1,由(i)得,a1=1,
∴{an}是首项a1=1,公差为1的等差数列,∴an=n,即n*1=n,故选A.
8.已知f(n)=+++…+,则( D )
A.f(n)中共有n项,当n=2时,f
(2)=+
B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f
(2)=++
C.f(n)中共有n2-n项,当n=2时,f
(2)=+
D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f
(2)=++
[解析] 项数为n2-(n-1)=n2-n+1,故应选D.
9.已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间是( B )
A.(0,1)B.(1,2)
C.(2,3)D.(3,4)
[解析] 由题可知g(x)=lnx-,∵g
(1)=-1<
0,g
(2)=ln2-=ln2-ln>
0,∴选B.
10.已知c>1,a=-,b=-,则正确的结论是( B )
A.a>bB.a<b
C.a=bD.a、b大小不定
[解析] a=-=,
b=-=,
因为>
>
0,>
0,
所以+>
+>
0,所以a<
b.
11.已知函数f(x)=x3+mx2+x的两个极值点分别为x1、x2,且0<
x1<
1<
x2,点P(m,n)表示的平面区域内存在点(x0,y0)满足y0=loga(x0+4),则实数a的取值范围是( B )
A.(0,)∪(1,3)B.(0,1)∪(1,3)
C.(,1)∪(1,3]D.(0,1)∪[3,+∞)
[解析] f′(x)=x2+mx+,由条件知,方程f′(x)=0的两实根为x1、x2且0<
x2,
∴∴∴
由得∴
由y0=loga(x0+4)知,当a>
1时,1<
y0<
loga3,∴1<
a<
3;
当0<
1时,y0=loga(x0+4)>
loga3,由于y0>
1,loga3<
0,∴对∀a∈(0,1),此式都成立,从而0<
1,综上知0<
1或1<
3,故选B.
12.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2019=( B )
x
1
2
3
4
5
f(x)
A.1B.2
C.4D.5
[解析] x1=f(x0)=f(5)=2,
x2=f
(2)=1,x3=f
(1)=4,x4=f(4)=5,x5=f(5)=2,…,数列{xn}是周期为4的数列,所以x2019=x1=2,故应选B.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把正确答案填在题中横线上)
13.已知1+2×
3+3×
32+4×
32+…+n×
3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=,b=,c=.
[解析] 令n=1、2、3,得
所以a=,b=c=.
14.已知f(x)=x3+3x2+a(a为常数),在[-3,3]上有最小值3,那么在[-3,3]上f(x)的最大值是57.
[解析] f′(x)=3x2+6x=3x(x+2),当x∈[-3,-2)和x∈(0,3]时,f′(x)>
0,f(x)单调递增,当x∈(-2,0)时,f′(x)<
0,f(x)单调递减,∴极大值为f(-2)=a+4,极小值为f(0)=a,又f(-3)=a,f(3)=54+a,由条件知a=3,∴最大值为f(3)=54+3=57.
15.函数f(x)=ax3-3x在区间(-1,1)上为单调减函数,则a的取值范围是a≤1.
[解析] f′(x)=3ax2-3,∵f(x)在(-1,1)上为单调减函数,∴f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,
即3ax2-3≤0在(-1,1)上恒成立,
∴a≤,∵x∈(-1,1),∴a≤1.
16.(2019·
洛阳高二检测)观察下列等式:
×
=1-,×
+×
=1-,…,由以上等式推测到一个一般的结论:
对于n∈N*,×
+…+×
=1-.
[解析] 由已知中的等式:
=1-
=1-,
=1-,…,
所以对于n∈N*,×
三、解答题(本大题共6个大题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本题满分10分)已知:
a、b、c∈R,且a+b+c=1.
求证:
a2+b2+c2≥.
[证明] 由a2+b2≥2ab,及b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.
三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.
∴3(a2+b2+c2)≥(a2+b2+c2)+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)2.
由a+b+c=1,得3(a2+b2+c2)≥1,
即a2+b2+c2≥.
18.(本题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2-3bx+c(b>
0),且g(x)=f(x)-2是奇函数.
(1)求a、c的值;
(2)若函数f(x)有三个零点,求b的取值范围.
[解析]
(1)∵g(x)=f(x)-2是奇函数,
∴g(-x)=-g(x)对x∈R成立,
∴f(-x)-2=-f(x)+2对x∈R成立,
∴ax2+c-2=0对x∈R成立,
∴a=0且c=2.
(2)由
(1)知f(x)=x3-3bx+2(b>
0),
∴f′(x)=3x2-3b=3(x-)(x+),
令f′(x)=0得x=±
,
(-∞,-)
-
(-,)
(,+∞)
f′(x)
+
增
极大值
减
极小值
依题意有∴b>
1,
故正数b的取值范围是(1,+∞).
19.(本题满分12分)已知函数f(x)=x3-2ax2+bx,其中a、b∈R,且曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为3.
(1)求b的值;
(2)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求a的值.
[解析]
(1)f′(x)=a2x2-4ax+b,
由题意f′(0)=b=3.
(2)∵函数f(x)在x=1处取得极大值,
∴f′
(1)=a2-4a+3=0,解得a=1或a=3.
①当a=1时,f′(x)=x2-4x+3=(x-1)(x-3),
x、f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
(-∞,1)
(1,3)
(3,+∞)
由上表知,函数f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.
②当a=3时,f′(x)=9x2-12x+3=3(3x-1)(x-1),
(-∞,)
(,1)
(1,+∞)
由上表知,函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意.
综上所述,若函数f(x)在x=1处取得极大值,a的值为1.
20.(本题满分12分)若x>
0,y>
0,用分析法证明:
(x2+y2)>
(x3+y3).
[证明] 要证(x2+y2)>
(x3+y3),
只需证(x2+y2)3>
(x3+y3)2,
即证x6+3x4y2+3x2y4+y6>
x6+2x3y3+y6,
即证3x4y2+3y4x2>
2x3y3.
又因为x>
0,所以x2y2>
故只需证3x2+3y2>
2xy.
而3x2+3y2>
x2+y2≥2xy成立,
所以(x2+y2)>
(x3+y3)成立.
21.(本题满分12分)已知函数f(x)=ax+(a>
1).
(1)证明:
函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数;
(2)用反证法证明方程f(x)=0没有负数根.
[解析]
(1)证法1:
任取x1、x2∈(-1,+∞),不妨设x1<
x2,则x2-x1>
0,ax2-x1>
1且ax1>
∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>
又∵x1+1>
0,x2+1>
∴-
=
=>
于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+->
故函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.
证法2:
f′(x)=axlna+=axlna+
∵a>
1,∴lna>
0,∴axlna+>
f′(x)>
0在(-1,+∞)上恒成立,
即f(x)在(-1,+∞)上为增函数
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