北京市西城156中学年高二下学期期中考试数学文试题Word下载.docx
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B.
C.
D.
10.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时,四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下,甲说:
“罪犯在乙、丙、丁三人之中”;
乙说:
“我没有作案,是丙偷的”;
丙说:
“甲、乙两人中有一人是小偷”;
丁说:
“乙说的是事实”.经过调查核实,四人中有两人说的是真话,另外两人说的是假话,且这四人中只有一人是罪犯,由此可判断罪犯是()
A.乙B.甲C.丁D.丙
二、填空题
11.命题“”的否定是.
12.曲线在P(1,1)处的切线方程为_____.
13.已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是__________.
14.设函数下列命题:
①的解集是,的解集是或;
②是极小值,是极大值;
③没有最小值,也没有最大值;
④有最大值,没有最小值.
其中正确的命题序号为__________.(写出所有正确命题的序号)
三、双空题
15.已知复数满足,那么__________,__________.
16.设函数,则的最大值为__________,最小值为__________.
四、解答题
17.已知函数.
()求的单调区间.
()求在区间上的最大值和最小值.
18.已知集合.
(1)求集合;
(2)若,求实数a的取值范围.
19.有一个工厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为元,已知每生产件这样的产品需要再增加成本(元).已知生产出的产品都能以每件元的价格售出.
()将该厂的利润(元)表示为产量(件)的函数.
()要使利润最大,该厂应生产多少件这样的产品?
最大利润是多少?
20.已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处切线的方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,恒成立,求a的取值范围.
21.已知函数.
()若在处取得极值,求实数的值.
()求函数的单调区间.
()若在上没有零点,求实数的取值范围.
参考答案
1.D
【解析】
∵集合,集合,
∴集合.
故选.
2.B
复数,其对应的点为,
位于第二象限.
3.B
,虚部为.
点睛:
对于复数的四则运算,要切实掌握其运算技巧和常规思路,如,其次要熟悉复数的相关基本概念,如复数的实部为,虚部为,模为,对应点为,共轭复数为
4.C
分析:
根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知f′(0)=0,f′
(2)=0,f′(4)=0,然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可.
详解:
根据函数f(x)的导函数f′(x)的图象可知:
f′(0)=0,f′
(2)=0,f′(4)=0
当x<0时,f′(x)>0,f(x)递增;
当0<x2时,f′(x)<0,f(x)递减;
当2<x<4时,f′(x)>0,f(x)递增;
当x>4时,f′(x)<0,f(x)递减.
可知C正确,A错误;
由极值的定义可知,f(x)在x=0处函数f(x)取到极大值,x=2处函数f(x)的极小值点,但极大值不一定为最大值,极小值不一定是最小值;
可知B、D错误.
故选C.
由导函数图象推断原函数的性质,由f′(x)>0得增区间,由f′(x)<0得减区间,由f′(x)=0得到的不一定是极值点,需判断在此点左右f′(x)的符号是否发生改变.
5.A
,
所以,
解得.
6.C
“”也是假命题,则q是真命题,“且”是假命题,得出p是假命题,故
为真命题,命题“且”是真命题.
7.B
【分析】
先求导数,再解不等式得结果.
【详解】
,令,解得:
故选:
【点睛】
本题考查利用导数求单调区间,考查基本分析求解能力,属基础题.
8.A
解出复数为纯虚数a的取值范围,即可得解.
复数为纯虚数,则,且,解得,所以“”
是“为纯虚数”的充分不必要条件.
A.
此题考查充分条件与必要条件的辨析,关键在于准确求出复数为纯虚数a的取值范围.
9.A
根据题中所给的规律,进行归纳猜想,即可得解.
观察等式知,左边分子之和等于8,分母之和等于0,右边都是2,只有选项A适合.
本题考查的是归纳推理,要难点在于发现其中的规律,要注意从运算的过程中去寻找,本题属于中档题.
10.A
由题意,这个问题的关键是四人中有两人说真话,另外两人说了假话,通过这一突破口,进行分析,推理即可得到结论.
在甲、乙、丙、丁四人的供词中,可以得出乙、丁两人的观点是一致的,因此乙丁两人的供词应该是同真同假(即都是真话或都是假话,不会出现一真一假的情况);
假设乙、丁两人所得都是真话,那么甲、丙两人说的是假话,由乙说真话可推出丙是犯罪的结论;
由甲说假话,推出乙、丙、丁三人不是犯罪的结论;
显然这两人是相互矛盾的;
所以乙、丁两人说的是假话,而甲、丙两人说的是真话,
由甲、丙的供词可以断定乙是犯罪的,乙、丙、丁中有一人是犯罪的,
由丁说假话,丙说真话推出乙是犯罪的,综上可得乙是犯罪的,故选A.
本题主要考查了推理问题的实际应用,其中解答中结合题意,进行分析,找出解决问题的突破口,然后进行推理是解答的关键,着重考查了推理与论证能力.
11.,
特殊命题的否定需将存在量词改为全称量词,同时否定结论,
故“,”的否定是:
,.
故答案为,.
12.
因为曲线y=x3,则,故在点(1,1)切线方程的斜率为3,利用点斜式方程可知切线方程为
13.
由题意应有在区间上恒成立,
则在时恒成立,
故.
14.①②④
①项,,则,解得,
若,则,
解得或,
所以的解集是,的解集是或,
故①项正确;
②项,,
令,得;
令,得或,
∴的单调减区间为和,单调增区间为,
∴的极小值为,的极大值是.
故②项正确;
③项,∵时,恒成立,时,,
∴无最小值;
又∵的单调减区间为,,
单调增区间为,
且时,,,
∴函数有最大值.
故③项错误;
④项,由③可知,④正确.
综上所述,正确的命题序号是①②④.
15.
利用复数除法运算得到复数,进而求出其共轭与模即可.
复数,
故,.
本题考查复数的运算及基本概念,属于基础题.
16.
由得,
令,则,
解得;
∴函数在上单调递增,在上单调递减,
且,,
∴的最大值为,
的最小值为.
17.
(1)单调递增区间为和,单调递减区间为;
(2)的最大值为,最小值为-9.
试题分析:
(1)求导得,令得增区间,令得减区间;
(2)由函数在区间的单调性求最值即可.
试题解析:
()由题得.
令,
令,解得,
∴的单调递增区间为和,
单调递减区间为.
()由()可知,在区间上单调递增,
在上单调递减,
∴在区间上的最大值为,
最小值为.
利用导数解答函数最值的一般步骤:
第一步:
利用或求单调区间;
第二步:
解得两个根;
第三步:
比较两根同区间端点的大小;
第四步:
求极值;
第五步:
比较极值同端点值的大小.
18.
(1);
(2);
(1)解不等式得集合,由交集定义求交集即可;
(2)由,,得,解不等式组即可.
()集合,
集合,
故集合.
()∵,
∴,
解得:
故实数的取值范围是.
19.
(1),(其中);
(2)该厂应生产件这种产品,最大利润为元.
(1)由题意得,由条件带入即可得解;
(2)求导,利用函数单调性求最大值即可.
()由题意得,
化简得,(其中).
(),
则由,
解得(件).
当时,,函数单调递增,
当时,,函数单调递减,
所以是函数的极大值点,同时也是的最大值点,
所以当时,元,
故要使利润最大,该厂应生产件这种产品,最大利润为元.
20.
(1).
(2)时,的单调增区间为;
单调减区间为和;
时,的单调增区间为和;
单调减区间为.
(3).
(1)求出函数的导函数,代入,求得,再求,利用直线方程的点斜式求解即可.
(2)求出,通过讨论的取值,分别求出,所对应的区间即为函数的单调区间.
(3)当时恒成立等价于在恒成立,令,由导数求出函数的最大值,即可求得的取值范围.
(1),得.
当时,,,即函数在处的切线斜率为0.
又,故曲线在点处切线的方程为.
(2).
①若,由得;
由得,又,
所以在上单调递增,在和上单调递减.
②若,由得;
所以在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,时,的单调增区间为;
单调减区间为和.
(3)时,恒成立,即在恒成立.
令,则.
则时,;
,.
在上单调递减,在上单调递增,则.
.
本题考查函数与导数综合运用.
(1)利用导数研究曲线上一点处的切线方程;
考查了导数的几何意义的应用.
(2)利用导函数研究函数的单调性:
,则函数单调递增;
,则函数单调递减.(3)通过参变分离构造函数,利用导数处理恒成立中求参数问题,其中参变分离后将恒成立问题转化为函数的最值问题,是此问解题的关键步骤.
21.
(1);
(2)单调增区间为,单调减区间为;
(1)求导,根据题意得,解得,再检验即可;
(2)由,令,得增区间,令得减区间;
(3)要使在上没有零点,只需在上或,又,只需在区间上,,进而转为研究函数最小值即可.
()的定义域为,且.
∵在处取得极值,
∴,解得或(舍),
当时,,;
,,
∴函数在处取得极小值,
().
令,解得;
∴函数的单调增区间为,单调减区间为.
()要使在上没有零点,只需在上或,
又,只需在区间上,.
①当时,在区间上单调递减,则,
解得与矛盾.
②当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增,
解得,
∴.
③当时,在区间上单调递增,
,满足题意,
综上所述,实数的取值范围是:
.
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