二次函数恒成立问题学生版Word格式.docx
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类型4:
二、恒成立问题常见的解题策略:
一:
利用二次函数的判别式
对于一元二次函数
有:
例1.若不等式
的解集是R,求m的范围。
解析:
要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是0。
(1)当m-1=0时,元不等式化为2>
0恒成立,满足题意;
时,只需
,所以,
二:
利用函数的最值(或值域)
对任意x都成立
简单计作:
“大的大于最大的,小的小于最小的”。
由此看出,本类问题实质上是一类求函数的最值问题。
例2.已知
,若
恒成立,求a的取值范围.
解析本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意
.若
恒成立
或
,即a的取值范围为
.
三:
利用零点分布
例3.已知
解析本题可以考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况,即Δ≤0或
,即a的取值范围为[-7,2].
点评对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就行了.
变式:
,当
恒成立,求实数
的取值范围。
四:
分离参数法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化为求主元函数的最值,进而求出参数范围。
这种方法本质也还是求最值,但它思路更清晰,操作性更强。
一般地有:
1)
2)
例4.函数
,若对任意
解:
若对任意
恒成立,
即对
考虑到不等式的分母
,只需
在
时恒成立而得
时恒成立,只要
时恒成立。
而易求得二次函数
上的最大值为
,所以
已知函数
时
五:
确定主元
在给出的含有两个变量的不等式中,习惯把变量
看成是主元(未知数),而把另一个变量
看成参数,在有些问题中这样的解题过程繁琐。
如果把已知取值范围的变量作为主元,把要求取值范围的变量看作参数,则可简化解题过程。
例5.若不等式
对满足
的所有
都成立,求x的范围。
我们可以用改变主元的办法,将m视为主变元,即将元不等式化为:
,;
令
,则
恒成立,所以只需
即
,所以x的范围是
总结:
利用了一次函数
对任意
,不等式
恒成立,求
六:
消元转化
例6.已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f
(1)=1,若
对于所有的
恒成立,求实数t的取值范围.
解析
本题不等式中有三个变量,因此可以通过消元转化的策略,先消去一个变量,容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f
(1)=1,则
恒成立,即
恒成立,令
,只要
.
3、巩固练习
1.
(1)若关于
的不等式
的解集为
,求实数
的取值范围;
(2)若关于
的解集不是空集,求实数
的取值范围.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2.若函数
在R上恒成立,求m的取值范围。
要使
在R上恒成立,即
在R上
恒成立。
成立
由
可知,
3.已知向量
若函数
在区间
上是增函数,求t的取值范围.
4.已知函数
,其中
是
的导函数.对满足
的一切
的值,都有
5.若对任意的实数
解法一:
原不等式化为
,即
上恒大于0。
⑴若
,要使
不存在
⑵若
,若使
⑶若
6.已知函数
对于一切
成立,求a的取值范围。
7.已知函数
对于
恒成立,,求m的取值范围。
8.若不等式
内恒成立,求a的取值范围。
9.已知函数
的定义域为R,求实数
10.已知函数
恒有
,试确定
11.已知
时,不等式
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