存在性问题专题Word文件下载.docx
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若不存在,请说明理由.
变式练习:
如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片.点O与坐标原点重合,点A在轴上,点C在轴上,OC=4,点E为BC的中点,点N的坐标为,过点N且平行于轴的直线MN与EB交于点M.现将纸片折叠,使顶点C落在MN上,并与MN上的点G重合,折痕为EF,点F为折痕与轴的交点.
(1)求点G的坐标;
(2)求折痕EF所在直线的解析式;
(3)设点P为直线EF上的点,是否存在这样的点P,使得以P、F、G为顶点的三角形为等腰三角形,若存在,请直接写出点P的坐标;
例2.如图,已知,以点A为圆心,以AO长为半径的圆交轴于另一点B,过点B作BF∥AE交⊙A于点F,直线EF交轴于点C.
(1)求证:
直线FC是⊙A的切线;
(2)求点C的坐标及直线FC的解析式;
(3)有一个半径与⊙A的半径相等,且圆心在轴上运动的⊙P.若⊙P与直线FC相交于M、N两点,是否存在这样的点P,使△PMN是直角三角形.若存在,求出点P的坐标;
变式练习2:
如图,面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上,二次函数的图象过原点,A点和斜边OB的中点M.
(1)求出这个二次函数的解析式和对称轴.
(2)在坐标轴上是否存在一点P,使△PMA中PA=PM,如果存在,写出P点的坐标,如果不存在,说明理由.
二、平行四边形、菱形等的存在性
例3.已知抛物线C1:
(m,n为常数,且)的顶点为A,与y轴交于点C;
抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式:
_______________;
(2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由;
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?
如果存在,请求出m的值;
如果不存在,请说明理由.
变式练习3:
如图,在直角坐标系中,以点A()为圆心,以2为半径的圆与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点D、E.
(1)若抛物线经过C、D两点,求抛物线的解析式,并判断点B是否在该抛物线上.
(2)在
(1)中的抛物线的对称轴上求一点P,使得△PBD的周长最小.
(3)设Q为
(1)中的抛物线的对称轴上的一点,在抛物线上是否存在这样的点M,使得四边形BCQM是平行四边形.若存在,求出点M的坐标;
若不存在,说明理由.
例4.已知:
如图,二次函数的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C.直线与x轴交于点D.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)在直线上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O顶点的三角形相似,求P点的坐标(用含m的代数式表示);
(3)在
(2)成立的条件下,试问:
抛物线上是否存在一点Q,使得四边形ABPQ为平行四边形?
如果存在这样的点Q,请求出的值;
如果不存在,请简要说明理由.
变式练习4:
如图,已知抛物线的顶点坐标为M(1,4),且经过点N(2,3),与轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标;
(2)若直线经过C、M两点,且与轴交于点D,试证明四边形CDAN是平行四边形;
(3)点P在抛物线的对称轴上运动,请探索:
在轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A、B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标;
【相似图形的存在性】
与定三角形相似的三角形的位置
例5.已知抛物线经过,及原点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上,任取一点Q,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC(如图).是否存在点Q,使得△OPC与△PQB相似?
若存在,求出Q点的坐标;
(3)如果符合
(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形△OPC、△PQB、△OQP、△OQA之间存在怎样的关系?
为什么?
变式练习5:
如图,在⊙M中,AB所对的圆心角为,已知圆的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(3)点是弦所对的优弧上一动点,求四边形的最大面积;
(4)在
(2)中的抛物线上是否存在一点,使和相似?
若存在,求出点的坐标;
例6.如图,直线与轴,轴分别相交于点B,点C,经过B、C两点的抛物线与轴的另一交点为A,顶点为P,且对称轴是直线.
(1)求A点的坐标;
(2)求该抛物线的函数表达式;
(3)连结AC,请问在轴上是否存在点Q,使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,请求出点Q的坐标;
变式练习6:
如图,已知C、D是双曲线在第一象限分支上的两点,直线CD分别交轴,轴于A、B两点.设,连结OC、OD(O是坐标有点),若,且tan=,=.
(1)求C、D的坐标和的值;
(2)双曲线上是否存在一点P,使得和的面积相等?
若存在,给出证明,若不存在,说明理由.
【与面积、周长有关的存在性问题】
例7.如图,已知抛物线的顶点为M(2,-4),且过点A(-1,5),连接AM交x轴于点B.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)求点B的坐标;
(3)设点P(x,y)是抛物线在x轴下方、顶点左方一段上的动点,连接PO,以P为顶点、PO为腰的等腰三角形的另一顶点Q在x轴上,过点Q的垂线交直线AM于点R,连结PR,设△PQR的面积为S,求S与x之间的函数关系式;
(4)在上述动点P(x,y)中,是否存在使的点?
若存在,求点P的坐标;
变式练习7:
如图,抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上滑动到什么位置时,满足S△PAB=8,并求出此时P点的坐标;
(3)设
(1)中抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若不存在,请说明理由.
【综合型存在性试题类型】
例8.如图1,已知直线与抛物线交于两点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求线段AB的垂直平分线的解析式;
(3)如图2,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A,B两处.用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A,B构成无数个三角形,这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形?
如果存在,求出最大面积,并指出此时P点的坐标;
变式练习8:
如图,直线与轴、轴分别交于A、B两点,把△OAB绕点O顺时针旋转90°
得到△OCD.
(1)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式.
(2)在所求抛物线上是否存在点P,使得直线CP把△OCD分成面积相等的两部分?
如果存在,求出点P的坐标;
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