专题16 相似三角形的性质Word下载.docx
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EF
2
,则
FG
的长是.
(“弘晟杯”上海市竞赛试题)
解题思路:
由相似三角形建立含
的关系式,注意中间比的代换.
G
F
D
E
BC
】如图,已知ABC
中,DE∥GF∥BC,且
:
DF
FB
1:
2:
,
则
S
△ADE
S四边形DFGE
S四边形FBCG
(
)
(黑龙江省中考试题)
A.1:
9:
36B.1:
4:
9C.1:
8:
27D.
36
△ADE,△AFG
都与△ABC
相似,用△ABC
面积的代数式分别表示△ADE、四边形
DFGE、
四边形
FBCG
的面积.
】如图,在ABC
的内部选取一点
P,过
P
点作三条分别与△ABC
的三边平行的直线,这样所得
的三个三角形
t1,t2,t3
的面积分别为
4,9
和
49,求△ABC
的面积.(第二届美国数学邀请赛试题)
由于问题条件中没有具体的线段长,所以不能用面积公式求出有关图形的面积,可考虑
应用相似三角形的性质.
I
Dt1
P
t3
t2
H
如图所示,经过三角形内一点向各边作平行线(也称剖分三角形)
我们可以得到:
①
△FDP
∽△IPE
∽△PHG
∽△ABC;
②
HG
IE
DF
+
1
;
AC
AB
DEFGHI
③++=
BCACAB
④
△ABC
t
)2
.
3
上述性质,叙述简捷,形式优美,巧妙运用它们解某些平面几何竞赛题,简明而迅速,奇特而匠心
独运,请读者给出证明.
】如图,ABC
中,O
是三角形内一点,满足
∠BAO
∠CAO
∠CBO
∠ACO
求证:
⋅
AB
.(北京大学自主招生考试试题)
解
题
思
路
:
这
实
际
上
是
一
个
著
名
的
问
布
洛
卡
点
.
设
△
ABC
内
满
足
∠PAB
∠PBC
∠PCA
θ
,称点
是△ABC
的布洛卡点,则有
cot
∠BAC
∠ABC
∠ACB
cotθ
O
5】如图,在梯形
中,AD∥BC,
DC
4
∠B
45︒
动点
M
从
点出发沿线段
以每秒
个单位长度的速度向终点
C
运动;
N
同时从
以每
秒
运动,设运动的时间为
秒.
(1)求
的长;
(2)当
MN∥AB
时,求
的值;
(3)试探究:
为何值时,△MNC
为等腰三角形.(济南市中考试题)
对于
(2),由,构造相似三角形,由三角形相似得对应边成比例,进而解决问题;
对
于(3),需要分情况讨论.
在证明含线段平行关系的问题时,常常联想到以下知识:
①勾股定理;
②相似三角形面积比等于相
似比的平方.
AD
N
6】
设1B1C1
的面积为
S,A2B2C2
S2
(S1
<
,当1B1C∽A2B2C2,且
1112
22
2
30︒
∠BCD
60︒
,连接
AC.(厦门市中考试题)
(1)若
AD=,求证:
DAC
与△ABC
有一定的“全等度”;
()你认为:
有一定的“全等度”正确吗?
若正确,说明理由;
若不正确,请举
出一个反例说明.
本题设置了“全等度”这一新概念,要求在对其理解的基础上进行辨析和判断,并举例
说明符合或不符合概念特征的正例或反例,这是试题对概念理解考查的有力保障..
能力训练
1.
如图,在△ABC
与△BED
中,若
则△ABC
的周长为cm.
A
级
5
=,且
的周长之差为
10cm,
BD
DE
(第
题)(第
题)
2.
如图,△ABC
中,CE
EB
,DE∥AC.
若△ABC
S,则△ADE
的面积为.
(苏州市中考试题)
3.
中,DE∥BC,DE,CD
交于
F,且
△CFE
DEFS△
BAS△
4.
若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上,直角三角形的两直角边的长分别为
3cm
和
4cm,则此正方形的边长为cm.(武汉市中考试题)
5.
如图,□
中,E
的中点,F
的中点,EF
交
于点
O,FE
的延长线交
CB
的
延长线于
点,那么
4B.1:
9C.
5D.1:
M
6
7
6.
如图,直角梯形
中,∠BCD
90︒
,AD∥BC,BC=CD,E
为梯形内一点,且
∠BEC
将△BEC
绕点
旋转
90°
使
与
重合,得到△DCF,连接
M.
已知
,CF
DM
MC
的值为()
A.
5:
3B.
3:
5C.
3D.
4
(荆州市中考试题)
7.
中,DE∥BC,BE
交于点
O,AO
DE,BC
分别交于点
N,M,则下列结
论错误的是()
ANONANOEON
2S
A.
==D.=
ADE
AMOMAMOCOM
△OMB△ABC
8.
如图,在正方形
中,M
的中点,N
点在
上.
∠BMN
∠MBC
,则
为()
1122
B.C.D.
2335
AMD
8
9
CN
ND
的值
9.
如图,已知梯形
∠ACD
AB2
BC
=
CD2
AD
10.
如图
1,在
ABC
中,
,AD⊥BC
D,点
O
边上一点,连接
BO
交
于
F,OE⊥OB
E.
图
1图
()求证:
ABF
∽△COE;
为
边中点,
OF
时,如图
2,求
OE
(3)当
n
时,请直接写出
的值.
(武汉市中考试题)
11.
,D
在
边上移动(不与
A,B
重合),DE∥BC
E,连接
CD.
设
DEC
S
1
(1)当
中点时,求
x
y
,用
的代数式表示
y,并求
的取值范围;
(3)是否存在点
D,使得
>
S
?
若存在,求出
点位置;
若不存在,请说明理由.
14
(福州市中考试题)
12.
在等腰△ABC
M,N
分别在两腰
AB,AC
上(M
不与
A,B
重合,N
A,C
重合),且
MN∥BC.
将△AMN
沿
MN
所在的直线折叠,使点
的对应点为
为何值时,点
恰好落在
上;
(2)设
,△MNP
与等腰△ABC
重叠部分的面积为
y,试写出
的函数关系式.
当
为何值
时,y
的值最大,最大值是多少?
(宁夏省中考试题)
MN
中,DE∥FG∥BC,GI∥EF∥AB.
若△ADE,△EFG,△GIC
20cm2,
45
cm2,80
cm,则ABC
H
I
如图,梯形
,对角线
AC⊥BD
点,已知
的值是.(绍兴市中考试题)
OPQR
内接于△ABC,已知△AOR,△BOP
和△CRQ
的面积分别是
1,
123
那么正方形
的边长是()(全国初中数学联赛试题)
2B.
3C.2D.3
OR
Q
中,AB∥CD,且
3AB
,EF∥CD,EF
将梯形
分成面积相等的两部分,
AE
ED
()(“希望杯”邀请赛试题)
A.2B.
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