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116°
5.不等式组的解集在数轴上表示正确的是(D)
4.某市测得一周PM2.5的日均值(单位:
微克/立方米)如下:
31,30,34,35,36,34,31,对这组数据下列说法正确的是(B)
众数是35
中位数是34
平均数是35
方差是6
7、如图,点C、D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点,AB=4,点E、F分别是线段CD,AB上的动点,设AF=x,AE2-FE2=y,则能表示y与x的函数关系的图象是(C).
二、填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
8.计算;
3﹣1+(π﹣3)0﹣|﹣|=__1______
9.如图,直线a∥b,三角板的直角顶点A落在直线a上,两条直线分别交直线b于B、C两点.若∠1=42°
,则∠2的度数是__48°
10.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点.若点A的坐标为(-2,0),抛物线的对称轴为直线x=1.则16a+4b+c=_____
11.从﹣1、、1这三个数中任取两个不同的数作为点A的坐标,则点A在第二象限的概率是_____
12.关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是_K<
2且k__≠1_____
13.如图,在△ABC中,∠C=90°
,AC=BC,斜边AB=2,O是AB的中点,以O为圆心,线段OC的长为半径画圆心角为90°
的扇形OEF,弧EH经过点C,则图中阴影部分的面积为____Л/4-1/2____
14.如图,直线y=﹣3x+3与x轴交于点B,与y轴交于点A,以线段AB为边,在第一象限内作正方形ABCD,点C落在双曲线y=(k≠0)上,将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度,使点D恰好落在双曲线y=(k≠0)上的点D1处,则a=(2,2)__.
第14题图第15题图
15.菱形ABCD在直角坐标系中的位置如图所示,其中点A的坐标为(1,0),点B的坐标为(0,),动点P从点A出发,沿A→B→C→D→A→B→…的路径,在菱形的边上以每秒0.5个单位长度的速度移动,移动到第2015秒时,点P的坐标为(0.5,﹣) ..
三、解答题(共10道题,共75分)
16.(8分)先化简再求代数式的值,其中x=2cos45°
﹣1
解:
1
17、(8分)已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.
(1)求k的取值范围;
(2)若,求k的值.
(1)由方程有两个实数根,可得
△=b²
-4ac=4(k-1)²
-4k²
≥0,
解得,k≤1/2;
(2)依据题意可得,x1+x2=2(k-1),
由
(1)可知k≤1/2,
∴2(k-1)<0,
∴-2(k-1)=k²
-1,
解得k1=1(舍去),k2=-3,
∴k的值是-3.
答:
(1)k的取值范围是k≤;
(2)k的值是-3.
18.(8分)如图1,AB为⊙O的直径,点P是直径AB上任意一点,过点P作弦CD⊥AB,垂足为P,过点B的直线与线段AD的延长线交于点F,且∠F=∠ABC.
(1)若CD=2,BP=4,求⊙O的半径;
(2)求证:
直线BF是⊙O的切线;
(3)当点P与点O重合时,过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E,在其它条件不变的情况下,判断四边形AEBF是什么特殊的四边形?
请在图2中补全图象并证明你的结论.
解答:
(1)解:
CD⊥AB,
∴PC=PD=CD=,
连接OC,设⊙O的半径为r,则PO=PB﹣r=4﹣r,
在RT△POC中,OC2=OP2+PC2,
即r2=(4﹣r)2+()2,解得r=.
(2)证明:
∵∠A=∠C,∠F=∠ABC,
∴△PBC∽△BFA,
∴∠ABF=∠CPB,
∵CD⊥AB,
∴∠ABF=∠CPB=90°
,
∴直线BF是⊙O的切线;
(3)四边形AEBF是平行四边形;
理由:
如图2所示:
∵CD⊥AB,垂足为P,
∴当点P与点O重合时,CD=AB,
∴OC=OD,
∵AE是⊙O的切线,
∴BA⊥AE,
∴DC∥AE,
∵AO=OB,
∴OC是△ABE的中位线,
∴AE=2OC,
∵∠D=∠ABC,∠F=∠ABC.
∴∠D=∠F,
∴CD∥BF,
∵AE∥BF,
∵OA=OB,
∴OD是△ABF的中位线,
∴BF=2OD,
∴AE=BF,
∴四边形AEBF是平行四边形.
19.(9分)901班的全体同学根据自己的兴趣爱好参加了六个学生社团(每个学生必须参加且只参加一个),为了了解学生参加社团的情况,学生会对该班参加各个社团的人数进行了统计,绘制成了如图不完整的扇形统计图,已知参加“读书社”的学生有15人,请解答下列问题:
(1)该班的学生共有名;
(2)若该班参加“吉他社”与“街舞社”的人数相同,请你计算,“吉他社”对应扇形的圆心角的度数;
(3)901班学生甲、乙、丙是“爱心社”的优秀社员,现要从这三名学生中随机选两名学生参加“社区义工”活动,请你用画树状图或列表的方法求出恰好选中甲和乙的概率.
(1)∵参加“读书社”的学生有15人,且在扇形统计图中,所占比例为:
25%,∴该班的学生共有:
15÷
25%=60(人);
(2)参加“吉他社”的学生在全班学生中所占比例为:
=10%,
所以,“吉他社”对应扇形的圆心角的度数为:
360°
×
10%=36°
;
参加街舞社的学生有10人。
(3)画树状图如下:
由上图可知,共有6种可能的情况,恰好选中甲和乙的情况有2种,
20.(9分)如图,旗杆AB的顶端B在夕阳的余辉下落在一个斜坡上的点D处,某校数学课外兴趣小组的同学正在测量旗杆的高度,在旗杆的底部A处测得点D的仰角为15°
,AC=10米,又测得∠BDA=45°
.已知斜坡CD的坡度为,求旗杆AB的高度(,结果精确到个位).
延长BD,AC交于点E,过点D作DF⊥AE于点F.
∵i=tan∠DCF=,
∴∠DCF=30°
.(1分)
又∵∠DAC=15°
,∴∠ADC=15°
.
∴CD=AC=10.(2分)
在Rt△DCF中,DF=CD·
sin30°
=10×
=5
CF=CD·
cos30°
=,∠CDF=60°
.(4分)
∴∠BDF=45°
+15°
+60°
=120°
∴∠E=120°
-90°
=30°
在Rt△DFE中,EF=
∴AE=10+++=10+10.(6分)
在Rt△BAE中,BA=AE·
tanE=(10+10)×
=10+≈16(米).(7分)
旗杆AB的高度约为16米.
21.(9分)在购买某场足球赛门票时,设购买门票数为x(张),总费用为y(元).现有两种购买方案:
方案一:
若单位赞助广告费10000元,则该单位所购门票的价格为每张60元;
(总费用=广告赞助费+门票费)
方案二:
购买门票方式如图所示.
解答下列问题:
(1)方案一中,y与x的函数关系式为
;
方案二中,当0≤x≤100时,y与x的函数关系式为
,
当x>100时,y与x的函数关系式为
(2)如果购买本场足球赛门票超过100张,你将选择哪一种方案,使总费用最省?
请说明理由;
(3)甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张,花去总费用计58000元,求甲、乙两单位各购买门票多少张.
(1)方案一:
y=60x+10000;
当0≤x≤100时,y=100x;
当x>100时,y=80x+2000。
(2)因为方案一y与x的函数关系式为y=60x+10000,
∵x>100,方案二的y与x的函数关系式为y=80x+2000;
当60x+10000>80x+2000时,即x<400时,选方案二进行购买,
当60x+10000=80x+2000时,即x=400时,两种方案都可以,
当60x+10000<80x+2000时,即x>400时,选方案一进行购买;
(3)设甲、乙单位购买本次足球赛门票数分别为a张、b张;
∵甲、乙单位分别采用方案一和方案二购买本次足球比赛门票,
∴乙公司购买本次足球赛门票有两种情况:
b≤100或b>100
①当b≤100时,乙公司购买本次足球赛门票费为100b,
则
解得不符合题意,舍去
②当b>100时,乙公司购买本次足球赛门票费为80b+2000
解得符合题意
甲、乙单位购买本次足球赛门票分别为500张、200张
22.(11分)如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点,分别延长OD到点G,OC到点E,使OG=2OD,OE=2OC,然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG,连接AG,DE.
(1)求证:
DE⊥AG;
(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°
<α<360°
)得到正方形OE′F′G′,如图2.
①在旋转过程中,当∠OAG′是直角时,求α的度数;
②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求AF′长的最大值和此时α的度数,直接写出结果不必说明理由.
考点:
几何变换综合题..
分析:
(1)延长ED交交AG于点H,易证△AOG≌△DOE,得到∠AGO=∠DEO,然后运用等量代换证明∠AHE=90°
即可;
(2)①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况:
α由0°
增大到90°
过程中,当∠OAG′=90°
时,α=30°
,α由90°
增大到180°
时,α=150°
②当旋转到A、O、F′在一条直线上时,AF′的长最大,AF′=AO+OF′=+2,此时α=315°
(1)如图1,延长ED交AG于点H,
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点,
∴OA=OD,OA⊥OD,
∵OG=OE,
在△AOG和△DOE中,
∴△AOG≌△DOE,
∴∠AGO=∠DEO,
∵∠AGO+∠GAO=90°
∴∠AGO+∠DEO=90°
∴∠AHE=90°
即DE⊥AG;
(Ⅰ)α由0°
时,
∵OA=OD=OG=OG′,
∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O==,
∴∠AG′O=30°
∵OA⊥OD,OA⊥AG′,
∴OD∥AG′,
∴∠DOG′=∠AG′O=30°
即α=30°
(Ⅱ)α由90°
同理可求∠BOG′=30°
∴α=180°
﹣30°
=15
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