正方体的六组线面垂直关系.docx

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正方体的六组线面垂直关系

正方体的六组线面垂直关系

胡寅年

【专题名称】高中数学教与学

【专题号】G312

【复印期号】2010年07期

【原文出处】《中学数学:

高中版》（武汉）2010年4上期第58,60页

【作者简介】胡寅年，福建省龙岩第一中学（364000）。

【关键词】EEUU

正方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何图形之一，在正方体中能反映空间基本的线线关系、线面关系、面面关系（尤其是平行垂直关系）.通过对正方体的截割，可以得到多种多样的柱体、锥体、台体„„。

可以说，正方体是研究空间线面位置关系的一个重要载体，也是展开空间想象的一个重要依托。

那么，哪些是正方体丰富的线线、线面、面面平行垂直关系,哪些方面体现了正方体与其他几何体之间的内在关系,对此，历年全国高考试题都作了很好的诠释，它对于立体几何的复习也是一个很好的导向。

本文介绍正方体六组线面垂直关系，并运用它们分析近几年的高考立体几何试题。

一、图形

《数学通报》2008年第10期刊登的数学问题1755，我们曾经研讨了正方体的基本截面图形，即由正方体的顶点或棱的中点共20个点可以确定平面16类，共299个。

经进一步探究，我们得到了以下六组在立体几何学习中十分常见的正方体线面垂直关系图形。

二、应用

立体几何是一门以探究空间线面平行垂直关系为中心的学科，空间线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化;角、距离、体积的计算等等，都与空间线面垂直关系息息相关，而上述正方体六组线面垂直关系的灵活运用，则往往能寻找到一些立体几何问题的自然、简洁、合理的有效途径。

1.棱与表面互相垂直

在正方体的六组线面垂直关系中，“棱与表面垂直”（图1）是最简单的一组线面垂直关系，学生掌握起来特别容易。

历年高考试题中，单一考查这一组线面垂直关系的情形很少。

2.面对角线与对角面互相垂直

在正方体的六组线面垂直关系中，“面对角线与对角面互相垂直”（图2）是简单的一组线面垂直关系，学生掌握起来比较容易。

历年高考试题中，以这一组线面垂直关系为背景的立体几何题，对学生的空间想象能力要求较低。

例2（2006年上海）如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。

在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是,,。

分析本题以“正交线面对”为“背景”创设了一个陌生的情境，考查正方体线面垂直关系的直接运用。

由图形1、2，在一个正方体中，一个表面有四条棱与之垂直，正方体的六个表面构成了24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，正方体的六个对角面构成了12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”。

例3（2009年四川）如图8

（1），正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，?

ABE是等腰直角三角形，AB=AE，FA=FE，?

AEF=45?

。

（1）求证:

EF?

平面BCE;

（2）设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM?

平面BCE?

若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由;

（3）求二面角F-BD-A的大小。

图8

分析显然，题中图形由正方体截割而成，将它放入正方体DR之中（如图

（2）），解法容易些。

解

（1）由图形2，AR?

平面BCE，又FE?

AR，所以EF?

平面BCE

（2）设AR与BE相交于点N，由于PM?

CN，且CN平面BCE，于是在直线AE上存在一点M，使得PM?

平面BCE，此时M为AE的中点。

（3）过点F作FO?

直线AB于O，则FO?

EA，由图1，EA?

面ABCD，

所以FO?

面ABCD，

作OH?

BD于H，连结FH，所以FH?

BD，

所以?

FHO为二面角F-BD-A的平面角。

明显地，本题通过补成正方体，直接运用正方体基本的线面垂直关系去分析，取得了很好的效果。

3.体对角线与正三角形平面互相垂直

在正方体的六组线面垂直关系中，“体对角线与正三角形平面互相垂直”（图3）是基本的一组线面垂直关系，学生掌握起来并不困难。

历年高考试题中，以这一组线面垂直关系为背景的立体几何题，对学生的空间想象能力要求不高。

例4（2009年福建）如下页图9，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD?

平面ABCD，NB?

平面ABCD，且MD=NB=1，E为BC的中点。

（1）求异面直线NE与AM所成角的余弦值;

（2）在线段AN上是否存在点S，使得ES?

平面AMN?

若存在，求线段AS的长;若不存在，请说明理由。

图9

图10

分析不难看出，题目中的几何体由正方体截割而成，将它放入正方体AR之中（如图10），解法简单些。

解

（1）略。

（2）设AN与BP相交于点S，由图形3，PC?

平面AMN，又SE?

PC，所以ES上平面AMN，

（1）求异面直线BF与DE所成角的大小;

（2）证明:

平面AMD?

平面CDE;

（3）求二面角A-CD-E的余弦值。

分析不难看出，题中的五面体由正方体截割而成，将它放入正方体HQ之中（如图14），思路简单多了。

解

（1）显然，BF?

HP，?

PDH为等边三角形，于是异面直线BF与DE所成的角的大小为60?

。

图14

（2）设K、N分别为正方体棱的中点，由图形2，HP?

平面AMD，又HP平面CDE，因此平面AMD?

平面CDE。

（未完待续）^NU1DA20100909