专题03 拐点压轴专题1拐点在平行线间七年级数学下册重点题型通关训练人教版解析版Word文档下载推荐.docx
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∠DAP的平分线和∠EBP的平分线相交于点C.
若设∠2=α,∠4=β,试用含α的代数式表示出∠C和∠P.
【解析】∠C=∠1+∠3=∠2+∠4=α+β,
∠P=∠5+∠6=(180°
-2∠2)+(180°
-2∠4)=360°
-2(α+β).
【例1】如图
(1)所示:
已知MN∥PQ,点B在MN上,点C在PQ上,点A在点B的左侧,点D在点C的右侧,∠ADC、∠ABC的平分线交于点E(不与B、D点重合),∠CBN=110°
.
(1)若∠ADQ=140°
,则∠BED的度数为______(直接写出结果即可);
(2)若∠ADQ=m°
,将线段AD沿DC方向平移,使点D移动到点C的左侧,其它条件不变,如图
(2)所示,求∠BED的度数(用含m的式子表示).
【解析】
(1)要求∠BED,只需要得出∠EDC和∠EBM.如图
(1).
根据题意可得∠EDC==20°
,(角平分线)
∠EBM==35°
∠BED=∠EDC+∠EBM=55°
.
(2)同理,要求∠BED,只需要得出∠EDC和∠EBM.如图
(2).
如图
(2),过点E作EF∥PQ.
∵∠CBN=110°
,
∴∠CBM=70°
∵∠CDE=∠ADE,∠ABE=∠CBE,
∴∠EBM=35°
,∠EDQ=m°
∵EF∥PQ,
∴∠DEF=180°
-∠EDQ=180°
-m°
∵EF∥PQ,MN∥PQ,
∴EF∥MN,
∴∠FEB=∠EBM=35°
∴∠BED=∠DEF+∠FEB=180°
+35°
=215°
同步训练1.已知E、F分别是AB、CD上的动点,P也为一动点.其中AB∥CD,移动E、F,使∠EPF=90°
,作∠PEG=∠BEP,求的值.
【解析】易得∠BEP+∠DFP=∠P=90°
又∠GEP=∠BEP,设∠BEP=x,则∠DFP=90°
-x.
∠AEG=180°
-2∠BEP=180°
-2x.
==2.
【过关练习】
1.如图,AB∥CD,点E是在AB、CD之间,且在BD的左侧平面区域内一点,连结BE,DE.作出∠EBD和∠EDB的平分线,两线交于点F,猜想∠F,∠ABE,∠CDE之间的关系,并证明你的猜想.
【解析】如图,FB,FD分别是∠EBD和∠EDB的平分线,
不妨设∠1=∠2=x,∠3=∠4=y.
∵AB∥CD,∴∠5+∠2+∠1+∠3+∠4+∠6=180°
∠5+∠6=180°
-2(x+y).
∠F=∠5+∠2+∠4+∠6=180°
-(x+y)(拐角).
故2∠F-∠5-∠6=180°
即2∠F-(∠ABE+∠CDE)=180°
2.如图,若∠AEP=∠AEF,∠CFP=∠EFC,且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M,EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N,猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论.
【解析】如图,可得
∠M=∠1+∠3+∠4,∠N=∠1+∠2+∠4(拐角).
又∠1=∠2,∠3=∠4,
则∠M=x+2y,∠N=2x+y.
∠M+∠N=3(x+y).
又可得∠AEF=5x,∠CFE=5y,且∠AEF+∠CFE=180°
即x+y=36°
∠M+∠N=3×
36°
=108°
3.已知,AB∥CD.点M在AB上,点N在CD上.如图中,∠BME=60°
,EF平分∠MEN,NP平分∠END,且EQ∥NP,则∠FEQ的大小是否发生变化,若变化,请说明理由,若不变化,求出∠FEQ的度数.
【解析】看到角平分线,不妨设
∠2=∠3=x.
又QE∥NP,则∠4=∠3=x.
∠MEN=∠BME+∠END(拐角),
=60°
+2x.
∠FEN=∠1=∠MEN=30°
+x.
∠FEQ=∠FEN-∠4=30°
+x-x=30°
4.如图,已知EM∥BN,∠AEM与∠ABN的角平分线相交于点F.试探究∠EFD与∠A的数量关系,并说明你的理由.
【解析】如图,∵EF和BF分别是∠AEM和∠ABN的平分线,
所以不妨设∠1=∠2=x,∠3=∠4=y.
∠A=360°
-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)=360°
-2(x+y)=2[180°
-(x+y)].
∠EFB=∠1+∠4=x+y.
∠EFD=180°
-∠EFB=180°
-(x+y).
故可得∠A=2∠EFD.
【专题提高】
5.如图,已知AB∥CD,点E在直线AB,CD之间.若AH平分∠BAE,将线段CE沿CD平移至FG.
(1)如图1,若∠AEC=90°
,HF平分∠DFG,求∠AHF的度数;
(2)如图2,若HF平分∠CFG,试判断∠AHF与∠AEC的数量关系并说明理由.
(1)如图1,根据题意,
不妨设∠1=∠2=x,∠4=∠5=y.
∵CE∥FG,∴∠3=∠4+∠5=2y.
∠AEC=∠1+∠2+∠3=2x+2y=90°
(拐角),
即x+y=45°
∠AHF=∠1+∠5=x+y=45°
(拐角).
(2)如图2,根据题意,
不妨设∠1=∠2=x,∠3=∠4=2y.
则∠AEC=∠1+∠2+∠3=2(x+y)(拐角).
∵CE∥GF,∴∠4=∠3=2y.
∠5=∠6==90°
-y.
∠AHF=∠1+(180°
-∠5)=x+y+90°
故2∠AHF-∠AEC=180°
6.如图,已知AB∥CD,直线AB、CD被直线EF截,分别交AB于点G,交CD于点H,点P在直线AB、CD内部直线EF上,点M、N分别在直线AB、CD上,连接PM、PN,∠PMB和∠PNC的平分线交于点K,点O为AB上一点,连接ON、MN,MN平分∠PNO,若∠MNK∶∠PMK=2∶7,2∠MKN-∠PNO=180°
,求∠NOM的度数.
【解析】根据题意,∠MNK∶∠PMK=2∶7
不妨设∠1=2x,则∠PMK=∠2=7x(角平分线).
设∠3=y,则∠PNK=∠3+∠1=y+2x,
∠KNC=∠PNK=y+2x(角平分线).
∠MKN=∠2+∠KNC=y+9x(拐角).
∠PNO=2∠PNM=2y(角平分线)
∵2∠MKN-∠PNO=180°
即2(y+9x)-2y=180°
解得x=10°
∠ONK=∠MNO-∠1=∠3-∠1=y-20°
∠ONC=∠CNK-∠ONK=(y+20°
)-(y-20°
)=40°
∠NOM=∠ONC=40°
.(两直线平行,内错角相等).
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