高中教育高中物理第五章曲线运动习题课3竖直面内的圆周运动教学案新人教版必修2文档格式.docx
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(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环,其半径为r,质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动,分析小球在最高点A的速度应满足什么条件?
答案
(1)最低点:
FT1=mg+
(2)最高点:
FT2=-mg
(3)由于绳不可能对球有向上的支持力,只能产生向下的拉力,由FT2+mg=可知,当FT2=0时,v2最小,最小速度为v0=。
(4)当v<
时,所需的向心力Fn=<
mg。
此时,重力mg的一部分提供向心力,剩余的另一部分力会使小球向下偏离圆周轨道,即小球此时不能过最高点做圆周运动,这之前已经脱离圆周轨道了。
绳拉球过最高点的条件是:
v≥。
(5)与绳拉球模型相似,在最高点A时,有FN+mg=m,当FN=0时,v最小为v0=,当v=v0时,小球刚好能够通过最高点,当v<
v0时,球偏离轨道,不能过最高点。
当v>
v0时,小球能够通过最高点。
[知识深化] 轻绳模型(如图2所示)的最高点问题
图2
1。
绳(内轨道)施力特点:
只能施加向下的拉力(或压力)。
在最高点的动力学方程FT+mg=m。
在最高点的临界条件FT=0,此时mg=m,
则v=。
v=时,拉力或压力为零。
v>
时,小球受向下的拉力或压力。
v<
时,小球不能达到最高点。
即轻绳模型的临界速度为v临=。
例1 一细绳与水桶相连,水桶中装有水,水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动,如图3所示,水的质量m=0。
5kg,水的重心到转轴的距离l=50cm。
(g取10m/s2)
图3
(1)若在最高点水不流出来,求桶的最小速率;
(结果保留三位有效数字)
(2)若在最高点水桶的速率v=3m/s,求水对桶底的压力大小。
答案
(1)2。
24m/s
(2)4N
解析
(1)以水桶中的水为研究对象,在最高点恰好不流出来,说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力,此时桶的速率最小。
此时有:
mg=m,
则所求的最小速率为:
v0=≈2。
24m/s。
(2)此时桶底对水有一向下的压力,设为FN,则由牛顿第二定律有:
FN+mg=m,
代入数据可得:
FN=4N。
由牛顿第三定律,水对桶底的压力:
FN′=4N。
针对训练 (多选)如图4所示,用长为l的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动,则下列说法中正确的是( )
图4
A。
小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B。
小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C。
若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动,则其在最高点的速率为
D。
小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
答案 CD
解析 小球在圆周最高点时,向心力可能等于重力也可能等于重力与绳子的拉力之和,取决于小球的瞬时速度的大小,A错误;
小球在圆周最高点时,如果向心力完全由重力充当,则可以使绳子的拉力为零,B错误;
小球刚好能在竖直面内做圆周运动,则在最高点,重力提供向心力,v=,C正确;
小球在圆周最低点时,具有竖直向上的向心加速度,处于超重状态,拉力一定大于重力,故D正确。
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
[导学探究] 长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球,使小球在竖直面内做圆周运动。
(如图5)
图5
(1)当小球在最高点B的速度为v1时,求杆对球的作用力。
(2)杆拉球过最高点的最小速度为多少?
(3)试分析光滑圆管竖直轨道中,小球过最高点时受管壁的作用力与速度的关系?
答案
(1)设杆对它的作用力向下,则有mg+F=
则F=-mg
当v1=时,F=0
当v1>
时,F>
0,表示球受杆的作用力方向向下,表现为拉力。
当v1<
时,F<
0,表示球受杆的作用力方向向上,表现为支持力。
(2)由
(1)中的分析可知,杆拉球过最高点的最小速度为零。
(3)设管壁对球的作用力向下,为FN。
则有FN+mg=
即FN=-mg
当v=时,FN=0,
时,FN>
0,即上管壁对球有向下的压力;
当0<
时,FN<
0,即FN竖直向上,下管壁对球有向上的支持力。
[知识深化] 细杆和管形轨道模型
最高点的最小速度
如图6所示,细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球,由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力,故小球恰能到达最高点的最小速度v=0,此时小球受到的支持力FN=mg。
图6
小球通过最高点时,轨道对小球的弹力情况
(1)v>
,杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力,F随v增大而增大。
(2)v=,球在最高点只受重力,不受杆或管的作用力,F=0。
(3)0<
,杆或管的内侧对球产生向上的弹力,F随v的增大而减小。
小球能过最高点的条件:
v=0。
例2 长L=0。
5m的轻杆,其一端连接着一个零件A,A的质量m=2kg。
现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动,如图7所示。
在A通过最高点时,求下列两种情况下A对杆的作用力大小(g=10m/s2)。
图7
(1)A的速率为1m/s;
(2)A的速率为4m/s。
答案
(1)16N
(2)44N
解析 以A为研究对象,设其受到杆的拉力为F,
则有mg+F=m。
(1)代入数据v1=1m/s,可得F=m(-g)=2×
(-10)N=-16N,即A受到杆的支持力为16N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为压力,大小为16N。
(2)代入数据v2=4m/s,可得F′=m(-g)=2×
(-10)N=44N,即A受到杆的拉力为44N。
根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力,大小为44N。
例3 (多选)如图8所示,半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置,管内壁光滑,管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动,设小球经过最高点P时的速度为v,则( )
图8
v的最小值为
v若增大,球所需的向心力也增大
当v由逐渐减小时,轨道对球的弹力也减小
当v由逐渐增大时,轨道对球的弹力也增大
答案 BD
解析 由于小球在圆管中运动,最高点速度可为零,A错误;
根据向心力公式有Fn=m,v若增大,球所需的向心力一定增大,B正确;
因为圆管既可提供向上的支持力也可提供向下的压力,当v=时,圆管受力为零,故v由逐渐减小时,轨道对球的弹力增大,C错误;
v由逐渐增大时,轨道对球的弹力也增大,D正确。
故选B、D。
(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”,在长为1。
6m的细绳的一端,系一个与水的总质量为m=0。
5kg的盛水容器,以绳的另一端为圆心,在竖直平面内做圆周运动,如图9所示,若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s,则下列说法正确的是(g=10m/s2)( )
图9
“水流星”通过最高点时,有水从容器中流出
“水流星”通过最高点时,绳的张力及容器底部受到的压力均为零
“水流星”通过最高点时,处于完全失重状态,不受力的作用
“水流星”通过最高点时,绳子的拉力大小为5N
答案 B
解析 水流星在最高点的临界速度v==4m/s,由此知绳的拉力恰为零,且水恰不流出,故选B。
(轨道约束下小球的运动)(多选)如图10所示,质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动。
圆环半径为R,小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环,则其通过最高点时下列表述正确的是( )
图10
小球对圆环的压力大小等于mg
重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力
小球的线速度大小等于
小球的向心加速度大小等于g
答案 BCD
解析 因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环,故在最高点时小球对圆环的压力为零,选项A错误;
此时小球只受重力作用,即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力,满足mg=m=ma,即v=,a=g,选项B、C、D正确。
(球在管形轨道中的运动)(多选)如图11所示,小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动,下列说法正确的是( )
图11
小球通过最高点时的最小速度是
小球通过最高点时的最小速度为零
小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
解析 小球通过最高点的最小速度为0,圆形管外侧、内侧都可以对小球提供弹力,小球在水平线ab以下时,必须有指向圆心的力提供向心力,就是外侧管壁对小球的作用力,故B、D正确。
4。
(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0。
2kg的小球固定在长为0。
9m的轻杆一端,杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动。
(g=10m/s2)求:
(1)当小球在最高点的速度为多大时,球对杆的作用力为零?
(2)当小球在最高点的速度分别为6m/s和1。
5m/s时,球对杆的作用力。
答案
(1)3m/s
(2)6N,方向竖直向上 1。
5N,方向竖直向下
解析
(1)当小球在最高点对杆的作用力为零时,重力提供向心力,则mg=m,解得v0=3m/s。
(2)v1>v0,由牛顿第二定律得:
mg+F1=m,由牛顿第三定律得:
F1′=F1,解得F1′=6N,方向竖直向上。
v2<v0,由牛顿第二定律得:
mg-F2=m,由牛顿第三定律得:
F2′=F2,解得:
F2′=1。
5N,方向竖直向下。
课时作业
一、选择题(1~7为单项选择题,8~10为多项选择题)
长为L的细绳,一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点,当绳竖直时小球静止,再给小球一水平初速度v0,使小球在竖直平面内做圆周运动,并且刚好能过最高点。
则下列说法中正确的是( )
小球过最高点时速度为零
小球开始运动时绳对小球的拉力为m
小球过最高点时绳对小球的拉力为mg
小球过最高点时速度大小为
答案 D
秋千的吊绳有些磨损,在摆动过程中,吊绳最容易断裂的时候是秋千( )
在下摆过程中B。
在上摆过程中
摆到最高点时D。
摆到最低点时
解析 当秋千摆到最低点时速度最大,由F-mg=m知,吊绳中拉力F最大,吊绳最容易断裂,选项D正确。
如图1所示,某公园里的过山车驶过轨道的最高点时,乘客在座椅里面头朝下,人体颠倒,若轨道半径为R,人体重为mg,要使乘客经过轨道最高点时对座椅的压力等于自身的重力,则过山车在最高点时的速度大小为( )
0B。
C。
D。
答案 C
解析 由题意知F+mg=2mg=m,故速度大小v=,C正确。
如图2所示,质量为m的小球固定在杆的一端,在竖直面内绕杆的另一端O做圆周运动。
当小球运动到最高点时,即时速度为v=,L是球心到O点的距离,则球对杆的作用力是( )
mg的拉力B。
mg的压力
零D。
解析 当重力完全充当向心力时,
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