全国初中数学联赛试题及答案.docx
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2009年全国初中数学联合竞赛试题
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1.设,则()
A.24B.25C.D.
2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=()
A.B.C.D.
3.用表示不大于的最大整数,则方程的解的个数为()
A.1B.2C.3D.4
4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为()
A.B.C.D.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,
自点A作半圆的切线AE,则CBE=()
A.B.C.D.
6.设是大于1909的正整数,使得为完全平方数的的个数是()
A.3B.4C.5D.6
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.已知是实数,若是关于的一元二次方程的两个非负实根,则的最小值是____________.
2.设D是△ABC的边AB上的一点,作DE//BC交AC于点E,作DF//AC交BC于点F,已知△ADE、△DBF的面积分别为和,则四边形DECF的面积为______.
3.如果实数a、b满足条件,,则a+b=____.
4.已知a、b是正整数,且满足是整数,则这样的有序数对(a,b)共有_____对.
第二试(A)
一、(本题满分20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B,与轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
(1)证明:
⊙P与轴的另一个交点为定点.
(2)如果AB恰好为⊙P的直径且,求和的值.
二、(本题满分25分)设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高,、分别是△ADC、△BDC的内心,AC=3,BC=4,求.
三、(本题满分25分)已知为正数,满足如下两个条件:
①
②
证明:
以为三边长可构成一个直角三角形.
第二试(B)
一、(本题满分20分)题目和解答与(A)卷第一题相同.
二、(本题满分25分)已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的两条内角平分线AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:
EF∥AB.
三、(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试:
ACCBDB;-3,,-1,-7
第二试(A)
一、解:
(1)易求得点的坐标为,设,,则,.
设⊙P与轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们的交点为点O,所以OA×OB=OC×OD,则.
因为,所以点在轴的负半轴上,从而点D在轴的正半轴上,所以点D为定点,它的坐标为(0,1).
(2)因为AB⊥CD,如果AB恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点的坐标为,即.
又,
所以,解得.
二、解:
作E⊥AB于E,F⊥AB于F.
在直角三角形ABC中,AC=3,BC=4,.
又CD⊥AB,由射影定理可得,故,
.
因为E为直角三角形ACD的内切圆的半径,所以=.
连接D、D,则D、D分别是∠ADC和∠BDC的平分线,所以∠DC=∠DA=∠DC=∠DB=45°,故∠D=90°,
所以D⊥D,.
同理,可求得,.所以=.
三、证法1将①②两式相乘,得,
即,
即,
即,
即,
即,
即,即,
即,
所以或或,即或或.
因此,以为三边长可构成一个直角三角形.
证法2结合①式,由②式可得,
变形,得③
又由①式得,即,
代入③式,得,即.
,
所以或或.
结合①式可得或或.
因此,以为三边长可构成一个直角三角形.
第二试(B)
一、解答与(A)卷第一题相同.
二、解:
因为BN是∠ABC的平分线,所以.
又因为CH⊥AB,
所以,
因此.
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以,
因此C、F、H、B四点共圆.
又,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.
同理可证,点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.又AB⊥CH,所以EF∥AB.
三、解答与(A)卷第三题相同.
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