高考数学总复习 86 抛物线但因为测试 新人教B版Word文档下载推荐.docx
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C.y2=8xD.y2=4x
[答案] C
[解析] 由抛物线准线方程为x=-2知p=4,且开口向右,∴抛物线方程为y2=8x.故选C.
(理)(2010·
河北许昌调研)过点P(-3,1)且方向向量为a=(2,-5)的光线经直线y=-2反射后通过抛物线y2=mx,(m≠0)的焦点,则抛物线的方程为( )
A.y2=-2xB.y2=-x
C.y2=4xD.y2=-4x
[解析] 设过P(-3,1),方向向量为a=(2,-5)的直线上任一点Q(x,y),则∥a,∴=,∴5x+2y+13=0,此直线关于直线y=-2对称的直线方程为5x+2(-4-y)+13=0,即5x-2y+5=0,此直线过抛物线y2=mx的焦点F,∴m=-4,故选D.
3.(文)(2011·
茂名一模)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A、B两点,过A、B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P、Q,则梯形APQB的面积为( )
A.48B.56
C.64D.72
[解析] 由题意不妨设A在第一象限,联立y=x-3和y2=4x可得A(9,6),B(1,-2),而抛物线的准线方程是x=-1,所以|AP|=10,|QB|=2,|PQ|=8,故S梯形APQB=(|AP|+|QB|)·
|PQ|=48,故选A.
石家庄模拟)直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A、B、C、D,则的值为( )
A.16B.
C.4D.
[答案] B
[解析] 由得x2-3x-4=0,
∴xA=-1,xD=4,yA=,yD=4,
∵直线3x-4y+4=0恰过抛物线的焦点F(0,1).
∴|AF|=yA+1=,|DF|=yD+1=5,
∴==.故选B.
4.(2010·
福州市质检)已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是( )
A.5B.8
C.-1D.+2
[解析] 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为C(0,4),设点P到抛物线的准线距离为d,根据抛物线的定义有d=|PF|,∴|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1=-1.
5.(2010·
福建福州)若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,则经过点F、M(4,4)且与l相切的圆共有( )
A.0个B.1个
C.2个D.3个
[解析] 经过F、M的圆的圆心在线段FM的垂直平分线上,设圆心为C,则|CF|=|CM|,又圆C与l相切,所以C到l距离等于|CF|,从而C在抛物线y2=4x上.
故圆心为FM的垂直平分线与抛物线的交点,显然有两个交点,所以共有两个圆.
6.(2011·
湖北文,4)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>
0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则( )
A.n=0B.n=1
C.n=2D.n≥3
[解析] 由抛物线的对称性知,在抛物线上的两个顶点关于x轴对称,所以过抛物线焦点F作斜率为(或斜率为-)的直线与抛物线有两个不同交点,它们关于x轴的对称点也在抛物线上,这样可得到两个正三角形.
7.(2010·
延边州质检)抛物线的焦点为椭圆+=1的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为______.
[答案] y2=-4x
[解析] 由c2=9-4=5得F(-,0),
∴抛物线方程为y2=-4x.
8.(文)若点(3,1)是抛物线y2=2px的一条弦的中点,且这条弦所在直线的斜率为2,则p=________.
[答案] 2
[解析] 设弦两端点P1(x1,y1),P2(x2,y2),
则,两式相减得,==2,
∵y1+y2=2,∴p=2.
(理)已知点A(2,0)、B(4,0),动点P在抛物线y2=-4x上运动,则·
取得最小值时的点P的坐标是______.
[答案] (0,0)
[解析] 设P,则=,=,·
=+y2=+y2+8≥8,当且仅当y=0时取等号,此时点P的坐标为(0,0).
9.(文)(2011·
湖南六校联考)AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,若|AB|=4,则AB的中点到直线x+=0的距离为________.
[答案]
[解析] 由题可知|AB|=4,所以A、B两点分别到准线x=-的距离之和为4,所以AB的中点到准线x=-的距离为2,所以AB的中点到直线x=-的距离为2+=.
黑龙江哈六中期末)设抛物线y2=8x的焦点为F,过点F作直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点E到y轴的距离为3,则AB的长为________.
[答案] 10
[解析] 2p=8,∴=2,∴E到抛物线准线的距离为5,∴|AB|=|AF|+|BF|=2×
5=10.
10.(文)(2011·
福建文,18)如图,直线l:
y=x+b与抛物线C:
x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
[解析]
(1)由
得x2-4x-4b=0(*)
∵直线l与抛物线相切
∴△=(-4)2-4×
(-4b)=0 (*)
∴b=-1
(2)由
(1)知b=-1,方程(*)为x2-4x+4=0
解得x=2,代入x2=4y中得,y=1,∴A(2,1)
∵圆A与抛物线准线y=-1相切
∴r=|1-(-1)|=2.
所以圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
韶关月考)已知动圆过定点F(0,2),且与定直线L:
y=-2相切.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)若AB是轨迹C的动弦,且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线,设两切线交点为Q,证明:
AQ⊥BQ.
[解析]
(1)解:
依题意,圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点,L:
y=-2为准线的抛物线,
因为抛物线焦点到准线距离等于4,
所以圆心的轨迹方程是x2=8y.
(2)证明:
因为直线AB与x轴不垂直,
设AB:
y=kx+2.A(x1,y1),B(x2,y2).
由可得x2-8kx-16=0,
∴x1+x2=8k,x1x2=-16.
抛物线方程为y=x2,求导得y′=x.
所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1=x1,k2=x2,
k1k2=x1·
x2=x1·
x2=-1.
所以AQ⊥BQ.
11.(文)(2011·
温州模拟)已知d为抛物线y=2px2(p>
0)的焦点到准线的距离,则pd等于( )
A.p2B.p2
C.D.
[解析] 抛物线方程可化为x2=y,
∴d=,则pd=,故选D.
山东文,9)设M(x0,y0)为抛物线C:
x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )
A.(0,2)B.[0,2]
C.(2,+∞)D.[2,+∞)
[解析] 设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程y=-2.圆与准线相切时半径为4.若圆与准线相交则r>
4.又因为点M(x0,y0)为抛物线x2=8y上一点,所以有x=8y0.又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上.所以x+(y0-2)2=r2>
16,所以8y0+(y0-2)2>
16,即有y+4y0-12>
0,解得y0>
2或y0<
-6(舍),
∴y0>
2.故选C.
12.(文)(2010·
山东文)已知抛物线y2=2px(p>
0),过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为( )
A.x=1B.x=-1
C.x=2D.x=-2
[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点(,),∴=2,①-②得y-y=2p(x1-x2),∴kAB===,
∵kAB=1,∴p=2,∴y2=4x,
∴准线方程为:
x=-1,故选B.
山东济宁一模)已知抛物线y2=2px(p>
0)上一点M(1,m)(m>
0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值是( )
A.B.
[解析] 根据抛物线定义可得,抛物线准线方程为x=-4,则抛物线方程为y2=16x.
把M(1,m)代入y2=16x得m=4,即M(1,4).
在双曲线-y2=1中,A(-,0),则
kAM==.
解得a=.
13.(2011·
台州二检)已知抛物线y2=2px(p>
0)的焦点为F,F关于原点的对称点为P,过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点,有下列四个命题:
①△PMN必为直角三角形;
②△PMN不一定为直角三角形;
③直线PM必与抛物线相切;
④直线PM不一定与抛物线相切.其中正确的命题是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
[解析] 因为|PF|=|MF|=|NF|,故∠FPM=∠FMP,∠FPN=∠FNP,从而可知∠MPN=90°
,故①正确,②错误;
令直线PM的方程为y=x+,代入抛物线方程可得y2-2py+p2=0,Δ=0,所以直线PM与抛物线相切,故③正确,④错误.
14.(2011·
烟台检测)已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时,测量水面宽为8米,当水面上升米后,水面的宽度是________米.
[答案] 4
[解析]
建立平面直角坐标系如图,设开始时水面与抛物线的一个交点为A,由题意可知A(4,-2),故可求得抛物线的方程为y=-x2,设水面上升后交点为B,则点B的纵坐标为-,代入抛物线方程y=-x2可求出B点的横坐标为2,所以水面宽为4米.
15.(文)已知点A(0,-2),B(0,4),动点P(x,y)满足·
=y2-8.
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)设
(1)中所求轨迹与直线y=x+2交于C,D两点,求证:
OC⊥OD(O为原点).
[解析]
(1)由题意可得
·
=(-x,-2-y)·
(-x,4-y)=y2-8,
化简得x2=2y.
将y=x+2代入x2=2y中得,
x2=2(x+2).
整理得x2-2x-4=0,
可知Δ=4+16=20>
0,x1+x2=2,x1x2=-4.
∵y1=x1+2,y2=x2+2,
∴y1·
y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4.
∴kOC·
kOD=·
==-1,
∴OC⊥OD.
淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l与抛物线y2=
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