全等三角形地经典模型一Word文件下载.docx
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∴ON=OM
∴
∴△OMN是等腰直角三角形
⑶△ONM依然为等腰直角三角形,
证明:
∵∠BAC=90°
,AB=AC,O为BC中点
∴∠BAO=∠OAC=∠ABC=∠ACB=45°
,
∴AO=BO=OC,
∵在△ANO和△CMO中,
∴△ANO≌△CMO〔SAS〕
∴ON=OM,∠AON=∠,
又∵∠∠AOM=90°
∴△OMN为等腰直角三角形.
【例2】两个全等的含,角的三角板和三角板,如
图所示放置,三点在一条直线上,连接,取的
中点,连接,.试判断的形状,并说明理由.
【解析】是等腰直角三角形.
连接.由题意,得
∴为等腰直角三角形.
∵,
∴.
∴,
∴≌.
又.
∴是等腰直角三角形.
【例3】:
如图,中,,,是的中
点,于,交于,连接.
求证:
.
1【解析】证法一:
如图,过点作于,交于.
∵,,
∵,∴.
∵,∴
在和中,
∴.∴.
证法二:
如图,作交的延长线于.
∵,∴,
∴.∴
【例4】如图,等腰直角中,,为内部一点,满足
【例5】,求证:
【解析】补全正方形,连接DP,
易证是等边三角形,,,
∴,,∴,
【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型
在解有关等腰直角三角形中的一些问题,假如遇到不易解决或解法比拟复杂时,可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形,再利用正方形的一些性质来解,常常可以起到化难为易的效果,从而顺利地求解。
例4为求角度的应用,其他应用探究如下:
【探究一】证角等
【备选1】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,M为AC中点,连结BM,作AD⊥BM交BC于点D,连结DM,求证:
∠AMB=∠CMD.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BFC,延长AD交CF于点N,
∵AN⊥BM,由正方形的性质,可得AN=BM,
易证Rt△ABM≌Rt△CAN,∴∠AMB=∠D,=AM,
∵M为AC中点,∴CM=,
∵∠1=∠2,可证得△CMD≌△D,
∴∠D=∠CMD,
∴∠AMB=∠CMD.
【探究二】判定三角形形状
【备选2】如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°
,AB=AC,AD=CE,AN⊥BD于点M,延长BD交NE的延长线于点F,试判定△DEF的形状.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC对称的等腰Rt△BHC,
可知四边形ABHC为正方形,延长AN交HC于点K,
∵AK⊥BD,可知AK=BD,易证:
Rt△ABD≌Rt△CAK,
∴∠ADB=∠CKN,CK=AD,
∵AD=EC,∴CK=CE,
易证△CKN≌△CEN,∴∠CKN=∠CEN,
易证∠EDF=∠DEF,∴△DEF为等腰三角形.
【探究三】利用等积变形求面积
【备选3】如图,Rt△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,D为BC上一点,DE∥AC,DF∥AB,且BE=4,CF=3,求S矩形DFAE.
【解析】作等腰Rt△ABC关于BC的对称的等腰Rt△GCB,
可知四边形ABGC为正方形,分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,
可知DN=EB=4,DM=FC=3,
由正方形对称性质,
可知S矩形DFAE=S矩形DMGN=DM·
DN=34=12.
【探究四】求线段长
【备选4】如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,∠BAC=45°
,BD=3,CD=2,求AD的长.
【分析】此题假如用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的,但解法太繁琐,此题尽管条件不是等腰直角三角形,但∵∠BAC=45°
,假如分别以AB、AC为对称轴作Rt△ADB的对称直角三角形和Rt△ADC的对称直角三角形,这样就出现两边相等且夹角为90°
的图形,满足等腰直角三角形的条件,然后再引辅助线使之转化为正方形.
【解析】以AB为轴作Rt△ADB的对称的Rt△AEB,再以AC为轴作Rt△ADC的对称的Rt△AFC.
可知BE=BD=3,FC=CD=2,
延长EB、FC交点G,∵∠BAC=45°
由对称性,可得∠EAF=90°
,且AE=AD=AF,
易证四边形AFGE为正方形,且边长等于AD,
设AD=x,如此BG=x-3,CG=x-2,
在Rt△BCG中,由勾股定理,得,
解得x=6,即AD=6.
【探究五】求最小值
【备选5】如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC=4,M为AC的中点,P为斜边AB上的动点,求PM+PC的最小值.
【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形,即作Rt△ACB关于AB对称的Rt△ADB,可知四边形ACBD为正方形,连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接MD交AB于点P,连接CP,如此PM+PC的值为最小,最小值为:
PM+PC=DM=.
题型二:
三垂直模型
常见三垂直模型
【引例】AB⊥BD,ED⊥BD,AB=CD,BC=DE,⑴求证:
AC⊥CE;
⑵假如将△CDE沿CB方向平移得到①②③④等不同情形,,
其余条件不变,试判断AC⊥C1E这一结论是否成立?
假如成立,给予证
明;
假如不成立,请说明理由.
①②③④
1【解析】⑴∵AB⊥BD,ED⊥BD
在与中
∴〔SAS〕
∵
∴,即AC⊥CE
⑵图①②③④四种情形中,结论永远成立,证明方法与⑴完全类似,只要证明
∴
∵∴
∴AC⊥C1E
【例6】正方形中,点、的坐标分别为,,点在第一象限.求正方形边长与顶点的坐标.〔计算应用:
在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方.〕
2【解析】过点C作CG⊥x轴于G,过B作BE⊥y轴于E,并反向延长交CG于F
点、的坐标分别为,
∴BE=8,AE=6,∴AB=10
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC
∵
∴△AEB≌△BFC
∴CF=BE=8,BF=AE=6
∴CG=12EF=14
∴C(14,12),正方形的边长为10
【点评】此题中三垂直模型:
【例7】如下列图,在直角梯形中,,,,是的中点,.
⑴求证:
;
⑵求证:
是线段的垂直平分线;
⑶是等腰三角形吗?
请说明理由.
【解析】∵,,
∴,∴,
∴,∴.
∵是中点,∴
由⑴得:
,∴
由等腰三角形的性质,得:
即是线段的垂直平分线.
是等腰三角形,
由⑵得:
,由⑴得:
∴,∴是等腰三角形.
【例8】⑴如图1,△ABC是等边三角形,D、E分别是AB、BC上的点,且BD=CE,连接AE、CD相交于点P.请你补全图形,并直接写出∠APD的度数=;
⑵如图2,Rt△ABC中,∠B=90°
,M、N分别是AB、BC上的点,且AM=BC、BM=,连接AN、CM相交于点P.请你猜测∠APM=°
,并写出你的推理过程.
〔2013平谷一模〕
3【解析】⑴图略,60°
⑵45°
作AE⊥AB且.
可证≌
∵∴
∴
∴是等腰直角三角形,
又△AEC≌△CAN〔SAS〕
∴
∴EC∥AN.
训练1.:
如图,中,AC=BC,,是上一点,AE⊥BD的延长线于E,并且,求证:
BD平分.
4【解析】延长AE交BC的延长线于F
∵BE⊥AF,
∴在△AFC和△BDC中,
∴△AFC△BDC〔ASA〕
∴AF=BD
又∵
∴BE是AF的中垂线∴BA=BF
∴BD平分
训练2.,在正方形ABCD中,E在BD上,DG⊥CE于G,DG交AC于F.求证:
OE=OF
1【解析】∵ABCD是正方形
∴OD=OC
∵DG⊥CE∴
∴∵
∴在△DOF和△COE中,
∴△DOF≌△COE〔ASA〕
∴OE=OF
训练3.:
如图,中,,,是的中点,于.求证:
5【解析】∵,,是的中点
∴AD=BD=CD,AD⊥BC
∴在△BDH和△ADF中,
∴△BDH≌△ADF〔ASA〕
∴DH=DF
训练4.如图,矩形ABCD中,E是AD上的一点,F是AB上的一点,EF⊥EC,且EF=EC,DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.
6【解析】在Rt△AEF和Rt△DEC中,∵EF⊥CE,∴∠FEC=90°
,
∴∠AEF+∠DEC=90°
,而∠ECD+∠DEC=90°
∴∠AEF=∠ECD.
又∠FAE=∠EDC=90°
.EF=EC
∴Rt△AEF≌Rt△DCE.
∴AE=CD.
∴AD=AE+4.
∵矩形ABCD的周长为32cm,
∴2〔AE+AE+4〕=32.
解得AE=6cm.
题型一等腰直角三角形模型巩固练习
【练习1】如图,△ACB、△ECD均为等腰直角三角形,如此图中与△BDC全等的三角形为_________.
2【解析】△AEC
【练习2】如图,中,,是的中点,,垂足为.,交的延长线于点.求证:
2【解析】∵,,
又∵,
∵是的中点,
即.
题型二三垂直模型巩固练习
【练习3】:
如图,四边形ABCD是矩形〔AD>AB〕,点E在BC上,且AE=AD,DF⊥AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系?
写出你所得到的结论并给予证明.
3【解析】经探求,结论是:
DF=AB.
证明如下:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=,AD∥BC,
∴∠DAF=∠AEB.
∵DF⊥AE,∴∠AFD=,
∵AE=AD,
∴.
∴AB=DF.
【练习4】如图,中,,,是上任意一点,
交延长线于,于.求证:
4【解析】根据条件,、都与互余,
,,
如此,,
【练习5】四边形ABCD是正方形.
⑴如图1,点G是BC边上任意一点(不与B、C两点重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E.求证:
△ABF≌△DAE;
⑵在⑴中,线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可,不需要证明);
⑶如图2,点G是CD边上任意一点(不与C、D两点重合),连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E.那么图中全等三角形是,线段EF与AF、BF的等量关系是(直接写出结论即可,不需要证明).
1【解析】⑴在正方形ABCD中,AB=AD,
在△ABF和△
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