特征方程Word格式.docx

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（1）求函数的不动点；

（2）对

（1）中的二个不动点，

求使恒成立的常数的值；

（3）对由定义的数列

，求其通项公式。

解析：

（1）设函数的不动点为，则

解得或

（2）由

可知使恒成立的常数。

（3）由

（2）可知，所以数列

是以为首项，为公比的等比数列。

则，则

例2．已知数列满足性质：

对于

且求的通项公式.

解:

依定理作特征方程变形得

其根为故特征

方程有两个相异的根，则有

即又

∴数列是以为首项，为公比的等比数列

例3．已知数列满足：

对于都

有

（1）若求

（2）若求

解：

作特征方程

变形得

特征方程有两个相同的特征根

（1）∵对于都有

（2）∴

例题4：

（限时训练）

10.设是常数，且，函数满

足，且只有一个值使成立。

（1）求的值；

（2）若数列满足，且，

证明数列是等差数列；

（3）令，求数列的前项和。

一、数列的一阶特征方程（型）

在数列中，已知，且时，（是常数），

（1）当时，数列为等差数列；

（2）当时，数列为常数数列；

（3）当时，数列为等比数列；

（4）当时，称是数列的一阶特征方程，其根叫做特征方程的特征根，

这时数列的通项公式为：

；

例1：

已知数列中，，且时，求；

（参考答案：

）

二、数列的二阶特征方程（型）

在数列中，与已知，且（是常数），则称

是数列的二阶特征方程，其根，叫做特征方程的特征根。

（1）当时，有；

（2）当时，有；

其中由代入后确定。

例2：

在数列中，，且时，，求；

考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列的项满足,

其中求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：

针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程；

借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为，则当时，为常数列，即，其中是以为公比的等比数列，即.

证明：

因为由特征方程得作换元

则

当时，，数列是以为公比的等比数列，故

当时，，为0数列，故（证毕）

下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列满足：

求

作方程

当时，数列是以为公比的等比数列.于是

例2．已知数列满足递推关系：

其中为虚数单位.

当取何值时，数列是常数数列？

作方程则

要使为常数，即则必须

现在考虑一个分式递推问题（*）.

例3．已知数列满足性质：

对于且求的通项公式.

将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.

定理2.如果数列满足下列条件：

已知的值且对

于，都有（其中p、q、r、h均为常

数，且），那么，可作特征方

程.

（1）当特征方程有两个相同的根（称作特征根）时，

若则

若，则其中特别地，当存在使时，无穷数列不存在.

（2）当特征方程有两个相异的根、（称作特征根）时，则，其中

先证明定理的第

（1）部分.

作交换

①

∵是特征方程的根，∴

将该式代入①式得②

将代入特征方程可整理得这与已知条件矛盾.故特征方程的根于是③

当，即=时，由②式得故

当即时，由②、③两式可得此时可对②式作如下变化：

④

由是方程的两个相同的根可以求得

∴

将此式代入④式得

令则故数列是以为公差的等差数列.

∴

其中

当时，

当存在使时，无意义.故此时，无穷数列是不存在的.

再证明定理的第

（2）部分如下：

∵特征方程有两个相异的根、，∴其中必有一个特征根不等于，不妨令于是可作变换

故，将代入再整理得

⑤

由第

（1）部分的证明过程知不是特征方程的根，故

故所以由⑤式可得：

⑥

∵特征方程有两个相异根、方程有两个相异根、，而方程与方程又是同解方程.

将上两式代入⑥式得

当即时，数列是等比数列，公比为.此时对于都有

当即时，上式也成立.

由且可知

所以（证毕）

注:

当时,会退化为常数;

当时,可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.

现在求解前述例3的分类递推问题.

依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第

（2）部分，则有

即

例4．已知数列满足：

对于都有

（1）若求

（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？

特征方程有两个相同的特征根依定理2的第

（1）部分解答.

（2）∵

令，得.故数列从第5项开始都不存在，

当≤4，时，.

（3）∵∴

令则∴对于

（4）显然当时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第

（1）小题的解答过程知，时，数列是存在的，当时，则有令则得且≥2.

∴当（其中且N≥2）时，数列从第项开始便不存在.

于是知：

当在集合或且≥2}上取值时，无穷数列都不存在.