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)'
=g2‘g「=e。
所以E=(gig2)'
(gig2)ng,g「gig20
群元的个数,称为群的阶(一般用符号g来表示)°
若群G的元素个数有限,则群G称为有限群;
若群G的元素个数无限,则群G称为无限群。
群的元素不但可以是数,而且可以是平移、转动、反射、置换、反演等物理操作。
最简单的操作是恒等操作,这种操作是指对事物什么也没有做。
我们需要恒等操作是为了满足群的数学条件。
群乘运算与元素有关。
如果群元是数,群乘就是通常的乘法或加法;
如果群元是物理操作,群乘就是操作,先操作右边元素,再进行左边操作(与算符相似)。
群的乘法一般不具有可交换性,即对—gi,g2•G,—般说来gig2=g2gi。
如果
对-gi,g2•G,有gig2二g2gi,则称G是可交换群或阿贝耳(Abel)群。
循环群必定是Abel群。
将有限群中所有元素的乘积列为一个表,称为乘法表。
在乘法表中,行操作是第一操作,列操作是第二操作。
例1)由{1,-1}组成的集合,在数的乘法下,构成一个二阶有限群,单位元素为1.单位元的逆元总是单位元,-1的逆元是其本身。
例2)由{—1,0,1}组成的集合,定义数的加法为群的乘法运算,贝U构成一个三阶有限群,单位元素为0。
1的逆元是一1,-1的逆元是1。
例3)空间反演群:
三维实空间中的恒等变换E(Er二r)和反演变换I
(Ir--r)。
如果定义群的乘法为从右向左依次施行变换,则E和I构成一个二阶有限群,称为空间反演群。
例4)n阶循环群Cn:
由一个元素a的幕构成的有限群.由一个群元连乘,可得循环群的全部群元。
设an=E,则Cn={E,a,a2,…,an」}构成一个群,
称为n阶循环群.空间反演群是一个2阶循环群.
例5)平面正三角形旋转对称群D3:
保持平面正三角形空间位置不变的所有转动变换:
E:
不转R1:
绕z轴转2n/3
R2:
绕z轴转4n/3R3:
绕1轴转n
R4:
绕2轴转nR5:
绕3轴转n
定义群的乘法为从右向左依次施行变换,构成一个群.
例6)。
汕群是正三角形的对称群,旋转对称操作再加平面反射操作二h。
由
例如R1-h,
于该新元素的增加,产生一些其它的新元素(由群的定义)
R^-h……R^-h,从几何上可以看出,正好是关于过R3轴的垂直面的反
图2.2
{E,R1,R2,R3,R4,R5Fh£
m,6},构成一个群D3h群。
例7)正方形的真覆盖旋转群D4
D4={E,R1巴|*2(江)R3—1*4,R5,R6,R7}。
\2)12丿
例8)定轴旋转群山2:
绕某个轴的所有旋转构成一个连续群。
如线性分子
CO,绕其连心线转过任意角度,空间位置保持不变。
其对称操作可记作:
Rz「
其中、是旋转角{0岂:
.27:
}。
定轴旋转群y-2=[Rz-,0乞「:
:
2二}。
血2又称二维转动群。
该群依赖于实参数「,所以是连续群。
又因为「可取无穷多个,所以该群又是无限群。
其群乘结构为R\Ri二R\'
;
i,即群元相乘对应参数相加。
例9)定点旋转群:
%:
绕过一个固定点的任意轴的所有旋转也构成一个连续群。
任意球对称的系统,将它绕通过对称中心的任意轴转过任意角度,空间位置保持不变。
对于这样的旋转,要用三个参数来标志。
脚方便的参数就是确定旋转轴的两个极角及该轴的旋转角。
定点旋转群山3的群元可记作
只吨/用殳丫)0^<
ti,0^<
2x,0<
y<
n
山3={R〉「,,0_:
•_i,0_1_2二,0一-■},这是用欧拉角〔:
^■,表示的。
参数的选择不是唯一的,也可用y「,r表示。
例10)置换群Sn:
n个全同粒子所有置换操作的集合构成一个群。
描述由n
个全同粒子组成体系的对称性时,首先把n个全同粒子编上号码(1,2,3,……n)。
然后通过置换(包括对换和轮换)重新排列全同粒子。
全同粒子的置换操作可记作
(123…n\
pi=
严…口彳…口丿(21)
上式表示把编上号码的n个全同粒子重新排列成(mi,m2,m3,mJ的顺序。
置换群Sn={Pi,P2,…Pn}。
该群共有n!
个群元,这是因为第一个粒子有n种排列方法可选取,第二个粒子有(n—1)种排列方法可选取,以此类推第i个粒子有
[n-(i-1)]种排列方法可选取,则第n个粒子只有一种排列方法。
所以n个全同粒子有n!
个群元,所以该群的阶g=n!
。
对于置换操作的表示,第一行的数未必要排成自然顺序,虽然通常都排成自然顺序。
只要上下行的对应关系不变,就代表同一个操作,即同一个群元。
例如
"
23、
街2、
l23i丿
J23丿
Pi的逆元可直
置换操作只与每列的对应关系有关,与第一行的顺序无关。
置换
接写成
』imim2m^*mnxpi=
U23…n丿。
作为例子给出三个全同粒子的置换群S3二{E,Pi,P2,P3,P4,P5},群元包括单位元
(E)、三个对换操作(Pi,P2,P3)和两个轮换操作(P4,P5)
两个置换的积定义为相继变换所得到的置换。
应先进行右边操作,然后再对新结
果进行左边操作。
例如有
上式中首先把左边操作的上行按右边操作的下行排列(左边操作重新排列时,上
下行的对应关系不能变),然后右边操作的上行和重新排列后的左边操作的下行构成最后结果。
置换群的乘法可以写成一般公式
伽m2m^…mn
M23…n、
n23…n'
giq2q3…qn丿
小m2m3…mn>
<
qiq2q3…qn」
上式是按两个置换乘积的定义作出的。
利用这个方法,很容易算得乘法表,如表
2.4。
固有转动:
三维空间的纯粹转动称为固有转动。
由固有转动变换的集合构成的群称为固有点群。
非固有转动:
转动后,再做空间反演就称为非固有转动。
由非固有转动变换的集合构成的群称为非固有点群(简称点群)。
上述两类转动都保持坐标原点不变。
反射:
一般用二h表示,是平面反射操作。
二hx,y,z]:
〔x,y,Z,是对xy平面的反射。
z表示z坐标取负。
反演:
一般用I表示,是对于原点的反射操作。
Ix,y,zl=[x,y,z。
习题
1•根据群的定义判断下列集合是否构成群并阐述理由。
1)在乘法下,一切奇数{1,3,5,……}的集合。
2)在加法下,一切偶数{2,4,6,……}的集合。
3)在加法下,一切实数的集合。
4)在乘法下,一切正实数(x>
0)的集合。
5)在加法下,一切整数的集合。
6)在加法下,一切正整数的集合。
2•集合{1,-1,i,-i}在普通乘法下,是否构成群?
若构成群写出乘法表。
3•写出循环群C3-{E,^,R2}、平面正三角形的旋转对称群Da、正方形的真覆盖旋转群D4的群乘表。
D4={E,R1,R2,R3,R4,R5,R6>
R7}
2.3群的重排定理(群的一个简单性质)
如果ga是群G的任一个固定元,gb取遍G的所有元,那么,乘积g^gagb也取遍G的所有元,且每一个乘积只出现一次。
证明:
先证G中的任意元素gc可以写成g^gagb的形式。
因为由群的定
义ga^G,取gb=ga'
gc,贝U自然有g^gagb。
再证gagb当b不同时,给出G中不同的元素。
用反证法,设bb,而
元素,这就完成了证明。
gagb=gagb■,两边左乘gaJ得gb=gb,这是不可能的。
因为群中不存在重复的
表2.2C3的乘法表
重排定理是关于群的乘法的重要定理。
它指出每个群元,在乘法表的每一行或每一列必须出现,且仅出现一次。
乘法表的每一行或每一列都是群元素的重新排列,不可能有两行或两列元素是相同排列的。
重排
定理的例子见表2.1,2.2,2.3,2.4。
G「g,g2,……[和群H「人」2,……[的群元及群乘都一一对应,即G的元素ga和H的元素ha之间一一对应,使当gag^gc时,有h.hc,贝U两群G和H称作是同构的。
记作:
G~Ho
两个同构的群,在适当调整群元素的顺序后,就有相同的群乘法表。
因此作为抽象的数学群来说,它们是一样的。
当然,对同一抽象群,当它用于不同的物理或几何问题时,它将代表不同的物理或几何意义。
这和初等数学中2+3=5可
以代表不同对象相加是同样的。
因为在对称性研究中所用到的大部分群性质,都
是从群乘法表的代数结构得到的,所以我们可以避免重复,而由群的同构来推得某些有用的类似性质。
同构群阶数相同。
在第一节群的例子中可以找出一些同构群。
例如1对应E,-1对应R给出了{1,-1}群和C2={E,R}同构;
又如0对应E,1对应R1,-1对应R2给出了{0,1,-1}
2下
群和C3={E,R1,R2}群同构;
{1,-1,i,-i}群和C4(旋转——)群也同构。
再如R1
4
对应P1,R2对应P2,R3对应P3,R4对应P4,R5对应卩5给出了D3群和&
群同构。
同态:
若群G—g1,g2,…gn:
和群H=%h2,…hm?
的群元及群乘不是一一对应,而是多对一,则两群G和H称作是同态的。
同构是一种特殊的同态,即当同态映射是一一映射时,同态就是同构。
因此群G和群H同构,则必同态。
反
之,群G和群H同态,但不一定同构。
例:
D3h群和S2群同态oD3h={E,R1,R2,R3,R4,Rj,h;
-1;
-2-3;
-4;
-5},
S2二{E,6},其中匚h是平面反射操作。
(E,R,R2,R3,R4,R5)与E对应,(ms—)与二h对应,则(e,R1,R2,R3,R4,R5)和(m6;
「产5)分别称作
E和匚h的同态对应核。
2.5子群
子群:
给定群G的某些元素往往自身也满足群的定义,这种由群G的部分
元素构成的群就说是群G的子群。
任意一个有限群的阶必可被其子群的阶整除,这就是拉格朗日定理。
陪集:
设H是群G的子群,H={ha}。
由固定gG,g,H,可生成子群H
的左陪集
gH二{gha|haH},(2.4)
同样也可生成子群H的右陪集
Hg={hag|ha^H}。
(2.5)
g就叫陪集因子。
有时也将左(右)陪集称为左(右)旁集。
当H是有限子群时,陪集元素的个数等于H的阶。
H的任意两个左(或右)陪集,或者有完全相同的元素,或者没有任何公共元素。
把群G的元素,分成其子群H的左陪集串的作法,提供了一种把群G分割为不
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