高中数学圆锥曲线知识点总结Word格式文档下载.docx

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①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为半径是。

配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x+）2+（y+）2=

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点（-,-）;

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C（a,b）,半径为r,点M的坐标为（x0,y0），则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=。

（4）直线和圆的位置关系：

①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：

直线与圆相交有两个公共点；

直线与圆相切有一个公共点；

直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：

（i）判别式法；

（ii）利用圆心C（a,b）到直线Ax+By+C=0的距离与半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P（x,y）到一个定点F（c,0）的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e（e＞0）,则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F（c,0）称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；

当e=1时，轨迹为抛物线；

当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆

双曲线

抛物线

定义

1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a（2a>

|F1F2|）的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<

e<

1）

1．到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a（0<

2a<

2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>

与定点和直线的距离相等的点的轨迹.

轨迹条件

点集：

（{M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F1F2｜＜2a＝

{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.

=±

2a,｜F2F2｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.

图形

方

程

标准方程

（>

0）

（a>

0,b>

参数方程

（t为参数）

范围

─a≤x≤a，─b≤y≤b

|x|≥a，y∈R

x≥0

中心

原点O（0，0）

顶点

（a,0）,（─a,0）,（0,b）,（0,─b）

（a,0）,（─a,0）

（0,0）

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点

F1（c,0）,F2（─c,0）

准线

x=±

准线垂直于长轴，且在椭圆外.

准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.

x=-

准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.

焦距

2c（c=）

离心率

e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：

双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

⑷共轭双曲线：

以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

.

⑸共渐近线的双曲线系方程：

的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线=2px（p>

0）的焦点坐标是（,0），准线方程x=-，开口向右；

抛物线=-2px（p>

0）的焦点坐标是（-,0），准线方程x=，开口向左；

抛物线=2py（p>

0）的焦点坐标是（0,），准线方程y=-　，开口向上；

抛物线=-2py（p>

0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.

（2）抛物线=2px（p>

0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离；

0）上的点M（x0,y0）与焦点F的距离

（3）设抛物线的标准方程为=2px（p>

0），则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线=2px（p>

0）焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A（x1,y1）,B（x2,y2），则弦长=+p或（α为直线AB的倾斜角），，（叫做焦半径）.

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：

在解析几何中，把坐标系的变换（如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向）叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：

坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：

设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是9x,y），在新坐标系x′O′y′中的坐标是.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是（h,k），则或

叫做平移（或移轴）公式.

（4）中心或顶点在（h,k）的圆锥曲线方程见下表：

方程

焦点

焦线

+=1

（±

c+h,k）

+h

x=h

y=k

+=1

（h,±

c+k）

y=±

+k

-=1

c+h）

（y-k）2=2p（x-h）

（+h,k）

x=-+h

（y-k）2=-2p（x-h）

（-+h,k）

x=+h

（x-h）2=2p（y-k）

（h,+k）

y=-+k

（x-h）2=-2p（y-k）

（h,-+k）

y=+k

六、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.

6.若在椭圆外，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

7.椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.

8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,（,）.

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。

12.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是；

【推论】：

1、若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是。

椭圆（a＞b＞o）的两个顶点为,，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是.

2、过椭圆（a＞0,b＞0）上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.

3、若P为椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,,，则.

4、设椭圆（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记,,，则有.

5、若椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为椭圆（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则,当且仅当三点共线时，等号成立.

7、椭圆与直线有公共点的充要条件是.

8、已知椭圆（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.

（1）;

（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;

（3）的最小值是.

9、过椭圆（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.

10、已知椭圆（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点,则.

11、设P点是椭圆（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则

（1）.

（2）.

12、设A、B是椭圆（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，,,，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有

（1）.

（2）.（3）.

13、已知椭圆（a＞b＞0）的右准线与x轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于A、B两点,点在右准线上，且轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.

（注:

在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：

P在右支；

外切：

P在左支）

5、若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.

6、若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.

7、双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.

8、双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：

（,）当在右支上时，,；

当在左支上时，,。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11、AB是双曲线（a＞0,b＞0）的