中考数学专题突破一抛物线中的面积问题铅垂高文档格式.docx
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导例答案:
x=2.
【例题精讲】
类型一:
抛物线上动点产生的三角形面积的最值
例1在平面直角坐标系中,直线y=x﹣2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A,动点D在直线BC下方的二次函数图象上.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,连接DC,DB,设△BCD的面积为S,求S的最大值;
(3)如图2,过点D作DM⊥BC于点M,是否存在点D,使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍?
若存在,直接写出点D的横坐标;
若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)根据题意得到B、C两点的坐标,设抛物线的解析式为y=(x﹣4)(x﹣m),将点C的坐标代入求得m的值即可;
(2)过点D作DF⊥x轴,交BC与点F,设D(x,x2﹣x﹣2),则DF=﹣x2+2x,然后列出S与x的关系式,最后利用配方法求得其最大值即可;
(3)根据勾股定理的逆定理得到△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形,取AB的中点E,EA=EC=EB=,过D作Y轴的垂线,垂足为R,交AC的延线于G,设D(x,x2﹣x﹣2),则DR=x,CR=﹣x2+x,最后,分为∠DCM=2∠BAC和∠MDC=2∠BAC两种情况列方程求解即可.
类型二:
抛物线上动点产生的四边形的面积
例2.如图,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A(1,0)和点B,与y轴交于点C,且其对称轴l为x=﹣1,点P是抛物线上B,C之间的一个动点(点P不与点B,C重合).
(1)直接写出抛物线的解析式;
(2)小唐探究点P的位置时发现:
当动点N在对称轴l上时,存在PB⊥NB,且PB=NB的关系,请求出点P的坐标;
(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大?
若存在,请求出四边形PBAC面积的最大值;
(1)由对称轴可求得B点坐标,结合A、B两点坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)过点P作PM⊥x轴于点M,设抛物线对称轴l交x轴于点Q.可证明△BPM≌△NBQ,则可求得PM=BQ,可求得P点的纵坐标,利用抛物线解析式可求得P点坐标;
(3)连接AC,设出P点坐标,则可表示出四边形PBAC的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值.
类型三:
由已知面积来定未知面积类问题
例3.如图1,在平面直角坐标系中有一Rt△AOB,O为坐标原点,OA=1,tan∠BAO=3,将此三角形绕原点O逆时针旋转90°
,得到△DOC,抛物线l:
y=﹣x2+bx+c经过A、B两点.
(1)求抛物线l的解析式及顶点G的坐标.
(2)①求证:
抛物线l经过点C.
②分别连接CG,DG,求△GCD的面积.
(3)在第二象限内,抛物线上存在异于点G的一点P,使△PCD与△CDG的面积相等,请直接写出点P的坐标.
(1)先求得点A和点B的坐标,然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式,可求得b、c的值,从而可得到抛物线的解析式,最后依据配方法可求得点G的坐标
(2)由旋转的性质可求得点D和点C的坐标,将点C的横坐标代入抛物线的解析式求得y=0,从而可证明点抛物线l经过点C;
如图1所示;
过点G作GE⊥y轴,分别求得梯形GEOC、△OCD、△GED的面积,最后依据S△CDG=S梯形GEOC﹣S△OCD﹣S△GED求解即可;
(3)过点G作PG∥CD,交抛物线与点P.先求得直线CD的解析式,然后可得到直线PG的一次项系数,然后由点G的坐标可求得PG的解析式,最后将直线PG的解析式与抛物线的解析式联立,最后解得点P的坐标即可.
类型四:
与面积倍分有关的综合题
例4.如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴的交点为C,顶点为D,直线CD与x轴的交点为E,解析式为y=﹣x﹣3,线段CD的长为.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图2,F是y轴上一点,且AF∥CD,在抛物线上是否存在点P,使经过P点的直线恰好将四边形AECF的周长和面积同时平分?
如果存在,请求出P点的坐标;
如果不存在,请说明理由.
(3)将
(2)中的△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°
后得△MQN(点M,Q,N分别与点A,O,F对应),使点M,N在抛物线上,则点M,N的坐标分别为M ,N .
(1)根据三角函数求出抛物线与y轴的交点C,顶点D的坐标,由顶点式可得抛物线的解析式;
(2)作OH⊥CE,交AF于点G,交CE于H,取GH的中点M,求出BM的解析式,找到此解析式与抛物线的另一个交点,即为所求;
(3)找到△AOF绕平面内某点逆时针旋转90°
后得△MQN,M,N在抛物线上,求出与AF垂直的点M,N的坐标即可.
【真题精炼】
1.(2018•青海)如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴交点分别为A(﹣1,0),B(3,0),C(0,2),作直线BC.
(2)点P为抛物线上第一象限内一动点,过点P作PD⊥x轴于点D,设点P的横坐标为t(0<t<3),求△ABP的面积S与t的函数关系式;
(3)条件同
(2),若△ODP与△COB相似,求点P的坐标.
2.(2017秋•吴中区期末)已知,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与x轴的两个交点A,B的横坐标分别为1和2,与y轴的交点是C.
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)若点D是y轴上的一点,是否存在D,使以B,C,D为顶点的三角形与△ABC相似?
若存在,求点D的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)过点C作CE∥x轴,与二次函数y=﹣x2+bx+c的图象相交于点E,点H是该二次函数图象上的动点,过点H作HF∥y轴,交线段BC于点F,试探究当点H运动到何处时,△CHF与△HFE的面积之和最大,求点H的坐标及最大面积.
3.(2018•阜新)如图,已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,0),B(3,0),交y轴于点C.
(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点,求△BCP面积的最大值;
(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当△BMN是等腰三角形时,直接写出m的值.
4.(2014秋•常熟市校级月考)如图,在平面直角坐标系xOy中,A、B为x轴上两点,C、D为y轴上的两点,经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线,我们把这条封闭曲线成为“蛋线”.已知点C的坐标为(0,﹣),点M是抛物线C2:
y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)的顶点.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)当△BDM为以∠M为直角的直角三角形时,求m的值.
(3)“蛋线”在第四象限上是否存在一点P,使得△PBC的面积最大?
若存在,求出△PBC面积的最大值;
5.(2013秋•苏州期中)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)与双曲线y=相交于点A、B,且抛物线经过坐标原点,点A在第二象限内,且点A到两坐标轴的距离相等,点B的坐标为(1,﹣4).
(1)求A的坐标及抛物线的解析式;
(2)若点E为A、B两点间的抛物线上的一点,试求△ABE面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)过点B作直线BC∥x轴,点C为直线BC与抛物线的另一交点.在抛物线上是否存在点D,使△ABD的面积等于△ABC的面积?
若存在,请求出点D的坐标;
6.(2019•虹口区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+8与x轴相交于点A(﹣2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P.点D(0,4)在OC上,联结BC、BD.
(1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标;
(2)点E为第一象限内抛物线上一点,如果△COE与△BCD的面积相等,求点E的坐标;
(3)点Q在抛物线对称轴上,如果△CDB∽△CPQ,求点Q的坐标.
7.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3),B(1,0)两点,顶点为M.
(1)求b、c的值;
(2)将△OAB绕点B顺时针旋转90°
后,点A落到点C的位置,该抛物线沿y轴上下平移后经过点C,求平移后所得抛物线的表达式;
(3)设
(2)中平移后所得的抛物线与y轴的交点为A1,顶点为M1,若点P在平移后的抛物线上,且满足△PMM1的面积是△PAA1面积的3倍,求点P的坐标.
参考答案
例1【解答】解:
(1)把x=0代y=x﹣2得y=﹣2,
∴C(0,﹣2).
把y=0代y=x﹣2得x=4,
∴B(4,0),.
设抛物线的解析式为y=(x﹣4)(x﹣m),将C(0,﹣2)代入得:
2m=﹣2,解得:
m=﹣1,
∴A(﹣1,0).
∴抛物线的解析式y=(x﹣4)(x+1),即y=x2﹣x﹣2.
(2)如图所示:
过点D作DF⊥x轴,交BC与点F.
设D(x,x2﹣x﹣2),则F(x,x﹣2),DF=(x﹣2)﹣(x2﹣x﹣2)=﹣x2+2x.
∴S△BCD=OB•DF=×
4×
(﹣x2+2x)=﹣x2+4x=﹣(x2﹣4x+4﹣4)=﹣(x﹣2)2+4.
∴当x=2时,S有最大值,最大值为4.
(3)如图所示:
过点D作DR⊥y垂足为R,DR交BC与点G.
∵A(﹣1,0),B(4,0),C(0,﹣2),
∴AC=,BC=2,AB=5,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形.
取AB的中点E,连接CE,则CE=BE,
∴∠OEC=2∠ABC.
∴tan∠OEC==.
当∠MCD=2∠ABC时,则tan∠CDR=tan∠ABC=.
设D(x,x2﹣x﹣2),则DR=x,CR=﹣x2+x.
∴=,解得:
x=0(舍去)或x=2.
∴点D的横坐标为2.
当∠CDM=2∠ABC时,设MD=3k,CM=4k,CD=5k.
∵tan∠MGD=,
∴GM=6k,GD=3k,
∴GC=MG﹣CM=2k,
∴GR=k,CR=k.
∴RD=3k﹣k=k.
∴==,整理得:
﹣x2+x=0,解得:
x=0(舍去)或x=.
∴点D的横坐标为.
综上所述,当点D的横坐标为2或.
【例2】解:
(1)∵A(1,0),对称轴l为x=﹣1,∴B(﹣3,0),
∴,解得,∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3;
(2)如图1,过点P作PM⊥x轴于点M,
设抛物线对称轴l交x轴于点Q.
∵PB⊥NB,∴∠PBN=90°
,
∴∠PBM+∠NBQ=90°
.
∵∠PMB=90°
∴∠PBM+∠BPM=90°
∴∠BPM=∠NBQ.
又∵∠BMP=∠BNQ=90°
,PB=NB,
∴△BPM≌△NBQ.
∴PM=BQ
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