相似三角形的判定复习共边共角型与嵌入型学生Word文件下载.docx

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图中的△ABC和△ADE有一个公共角或一组对顶角，又有一组对应角相等或两条夹边对应成比例。

例题精解

例1如图，△ABC中，D,E分别在AC,AB上，且∠ABD=∠ACE,联结DE。

求证：

△ADE∽△ABC。

点评：

（1）若将题中条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD⊥AC,CE⊥AB”，则结论。

（2）证明过程中比例式既是由△ABD∽△ACE得到的结论，又是判定△ADE∽△ABC的条件，也就是说，证明第一对三角形相似得到的结果（角相等或边成比例）作为条件马上用于证明第二对三角形相似，这是证明三角形相似常用的方法。

引申：

（1）若设BD,CE的交点为F，则还可以证明∽△和∽

可得到4对相似三角形。

（2）若条件“∠ABD=∠ACE”变为“BD⊥AC,CE⊥AB”，即使BD,CE成为△ABC的高，则共可得到8对相似三角形。

【举一反三】

1、如图，D是Rt△ABC斜边AB上的中点，过D作DF⊥AB，交BC于E，交AC的延长线于点F，求证：

DC2=DE·

DF.

2、如图，平行四边形ABCD中，点E在BC上，AE交BD于F,已知BE2=EF·

AE。

DC2=BF·

BD.

3、如图，等边三角形ABC中，D,E分别在BC,AB上，且,AD交CE于F。

AD·

DF=.

类型二：

嵌入型

“嵌入型”是指一个角镶嵌在一个三角形或四边形的内部，这个角的顶点与三角形的顶点重合，或者这个角的顶点在三角形或四边形的一条边上，而这个角的两条边分别与三角形或四边形的两条边相交。

例1、如图，△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC,点D,E在边BC上，∠DAE=45°

。

（1）写出图中的相似三角形；

（2）求证：

AB2=BE·

DC

本题中，△ADE嵌入△ABC内，两个三角形有一个公共顶点（∠A），称之为“正嵌型”，如例2图所示；

如果嵌入的三角形顶点在该角的对边上，称之为“反嵌型”，如图所示。

在△ABC中，∠BAC=90°

AB=AC,点D在斜边BC上，E,F分别在AC,AB上，∠EDF=45°

，可以证明△BDF∽△CED.

1、如图，△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，E,F分别在AB,AC上，且∠EDF=∠B，联结EF。

找出图中相似三角形并说明理由。

2、如图，梯形ABCD中，AD//BC,AD=3，BC=7，AB=DC=4，点P在边BC上，点E在边DC上，∠APE=60°

，联结AE.

（1）求证：

AB·

CE=BP·

PC;

（2）△APE能否与△ABP相似？

若能够，求此时点P的位置；

若不能够，请简要说明理由。

3、正方形ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，∠AEF=90°

，联结AF.

（1）找出图中一定相似的三角形并加以证明。

（2）△AEF或△ADF能否与△ABE相似？

如果能，求此时点E的位置；

如不能，试说明理由。

类型三：

旋转翻折型

“旋转翻折型”可以看做先使其中一个三角形经过放大或缩小，再与另一个三角形呈旋转对称或轴对称的位置关系。

例1如图，若∠1=∠2=∠3，写出图中所有相似的三角形，并简要说明理由。

【举一反三】1、如图，△ABC中，D是BC的中点，且AD=AC，DE⊥BC,交AB于点E,CE交AD于点F.求证：

.

2、如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，G为DC延长线上一点，AF⊥BG,垂足为F,AF交CD于E。

CD2=DE·

DG.

3、如图，△ABC中，点D在BC上，∠ADE=∠B,∠BAD=∠CAE.

AC=AB·

AE;

（2）当∠BAC=90°

时，求证：

EC⊥BC.

内容提炼

1、将三角形相似的判定与三角形全等的判定进行类比：

三角形全等

AAS,ASA

SAS

SSS

HL

三角形相似

AA

可以看出，判定“相似”比判定“全等”要求要低一些：

例如“两个角对应相等”无法判定全等，但可以判定相似；

再例如，“两组对边对应成比例”的要求也比“两条边对应相等”的要求低，因为“两条边对应相等”是“两边对应成比例”中当比例系数为1时的特殊情况。

实际上，“相似”的含义知识“像”，而“全等”的含义则是“一模一样”，“全等”的要求当然要高一些。

2、正因为判定相似比判定全等的要求低，所以相似形的图形变化更多，解题方法也更灵活。

判定三角形相似首先要观察图形中有没有相等的角，例如，两个三角形没有公共角，是否等腰三角形的两个底角或等腰梯形同一底上的两个角，等等；

其次，要把已知的乘积式化为比例式，考察所涉及的线段围成的三角形是否相似，有时还需要经过中间比转化。

3、组成相似三角形的图形往往相互交错，互相渗透，图形中常包含证明相似三角形“隐含条件”。

本节涉及的隐含条件分别为：

在共边共角型中，提供了公共角（或对顶角）相等；

反嵌入型中的三角形外角等于不相邻的两个内角和；

旋转型中的旋转角相等。

巩固提高（必做题，要求步骤完整，思路清晰）

1、满足下列条件的两个三角形不一定相似的是（）

A.有一个角都等于30°

的两个直角三角形；

B.有一个角都等于30°

的两个等腰三角形；

B.两直角边之比为1:

2的两个直角三角形；

D.两条边之比为1:

2的两个等腰三角形。

2、如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上，BD平分∠ABC,∠ACE=∠ABD,与△BEF一定相似的三角形为（）

A.△BFC;

B.△BDC;

C.△BDA;

D.△CEA

3、如图，梯形ABCD中，DC//AB,AD=BC,点P在DC上，点Q在BP上。

若∠APB=∠D,∠PAQ=∠PBA，则图中相似的三角形共有（）

A.3对；

B.4对；

C.5对；

D.6对

4、在△ABC中，AB=AC,∠A=40°

，若△DEF与△ABC相似，则∠D的度数为

5、已知△ABC与△A'

B'

C'

相似，∠A=∠A'

=90°

，AB=3，AC=4，A'

=6，则B'

=

6、如图，若∠B=∠C,AE=EC=3，AD=2，则DB=

7、如图，梯形ABCD中，AD//BC,BD平分∠ABC,∠A=∠BDC,若AB=4，BC=8，则CD=

8、如图，四边形ABCD中，AD//BC,若AB=8，BC=4，AC=6，AD=9，则CD=

9、如图，△ABC中，D在AC上，若∠ABD=∠C,AD=9，DC=7，则BD:

BC=

10、如图，平行四边形ABCD中，AC交BD于O。

已知,求证：

11、如图，△ABC中，AB=AC,射线BF交高AD于G，交AC于E，作CF//AB交BF于F.求证：

12、如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC延长线上，点E在AC上，联结AD,联结BE并延长，交AD于F,联结FC,已知∠EBC=∠D.

BC=BD·

BE.

（2）点E在AC上什么位置上，能使FC⊥BD？

证明你的结论。

探究题

（1）如图①，D,E分别在等边三角形ABC的边CB和边BC的延长线上。

①已知BC2=DB·

CE,求∠DAE的度数。

②以第①题所得的结论为条件，请证明BC2=DB·

CE.

（2）如图②，等腰直角三角形ABC中，D,E分别在斜边CB和BC的延长线上，当BC2=2DB·

CE时，求∠DAE的度数。

（3）如图③，△ABC中，AB=AC,∠BAC=,D,E分别在底边CB和BC的延长线上，当AB2=DB·