高中数学必修5等差数列精选题目附答案Word格式文档下载.docx
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(2)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).特别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N*).
(3)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).
(4)Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为n2d.
(5)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(6)若{an}是等差数列,则也成等差数列,其首项与{an}首项相同,公差是{an}公差的.
(7)若项数为偶数2n,则S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1);
S偶-S奇=nd;
=.
(8)若项数为奇数2n-1,则S2n-1=(2n-1)an;
S奇-S偶=an;
(9)在等差数列{an}中,若a1>
0,d<
0,则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm;
若a1<
0,d>
0,则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.
一、等差数列的基本运算
1.(2018·
全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=( )
A.-12 B.-10
C.10D.12
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2=4,S4=22,an=28,则n=( )
A.3B.7
C.9D.10
注:
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程思想.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
3.(2019·
开封高三定位考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a5=10,S4=16,则数列{an}的公差为( )
A.1B.2
C.3D.4
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3·
a5=12,a2=0.若a1>
0,则S20=( )
A.420B.340
C.-420D.-340
5.在等差数列{an}中,已知a5+a10=12,则3a7+a9=( )
A.12B.18
C.24D.30
二、等差数列的判定与证明
6.已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·
Sn-1=0(n≥2),a1=.
(1)求证:
是等差数列.
(2)求an的表达式.
等差数列的判定与证明方法
方 法
解 读
适合题型
定义法
对于任意自然数n(n≥2),an-an-1(n≥2,n∈N*)为同一常数⇔{an}是等差数列
解答题中证明问题
等差中项法
2an-1=an+an-2(n≥3,n∈N*)成立⇔{an}是等差数列
通项公式法
an=pn+q(p,q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
选择、填空题中的判定问题
前n项和公式法
验证Sn=An2+Bn(A,B是常数)对任意的正整数n都成立⇔{an}是等差数列
7.(2019·
陕西质检)已知数列{an}的前n项和Sn=an2+bn(a,b∈R)且a2=3,a6=11,则S7等于( )
A.13 B.49
C.35D.63
8.已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*).求证:
数列{bn}是等差数列.
三、等差数列的性质与应用
(一)等差数列项的性质
9.已知在等差数列{an}中,a5+a6=4,则log2(2a1·
2a2·
…·
2a10)=( )
A.10 B.20
C.40D.2+log25
10.(2019·
福建模拟)设Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,若a5=2b5,则=( )
A.2 B.3
C.4D.6
(二)等差数列前n项和的性质
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45
C.36D.27
(三)等差数列前n项和的最值
12.在等差数列{an}中,a1=29,S10=S20,则数列{an}的前n项和Sn的最大值为( )
A.S15 B.S16
C.S15或S16D.S17
1.应用等差数列的性质解题的2个注意点
(1)如果{an}为等差数列,m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;
若求am项,可由am=(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am+n+am-n的值.
(2)要注意等差数列通项公式及前n项和公式的灵活应用,如an=am+(n-m)d,d=,S2n-1=(2n-1)an,Sn==(n,m∈N*)等.
2.求等差数列前n项和Sn最值的2种方法
(1)函数法:
利用等差数列前n项和的函数表达式Sn=an2+bn,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解.
(2)邻项变号法:
①当a1>
0时,满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm;
②当a1<
0时,满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
13.在等差数列{an}中,若a3=-5,a5=-9,则a7=( )
A.-12B.-13
C.12D.13
14.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>
0,a3+a10>
0,a6a7<
0,则满足Sn>
0的最大自然数n的值为( )
A.6B.7
15.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知前6项和为36,最后6项的和为180,Sn=324(n>6),则数列{an}的项数为________.
巩固练习:
1.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+2,Sn为{an}的前n项和,则S10等于( )
A.90 B.100
C.110D.130
2.(2018·
北京东城区二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=3,a5=5,则S7的值是( )
A.30B.29
C.28D.27
山西五校联考)在数列{an}中,an=28-5n,Sn为数列{an}的前n项和,当Sn最大时,n=( )
A.2B.3
C.5D.6
4.(2019·
广东中山一中统测)设数列{an}的前n项和为Sn,且an=-2n+1,则数列的前11项和为( )
A.-45B.-50
C.-55D.-66
5.(2018·
南昌模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S5=50,S10=200,则a10+a11的值为( )
A.20B.40
C.60D.80
6.(2019·
广州高中综合测试)等差数列{an}的各项均不为零,其前n项和为Sn.若a=an+2+an,则S2n+1=( )
A.4n+2B.4n
C.2n+1D.2n
7.已知等差数列5,4,3,…,则前n项和Sn=________.
8.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________.
9.等差数列{an}中,已知a5>
0,a4+a7<
0,则{an}的前n项和Sn的最大值为________.
10.在等差数列{an}中,公差d=,前100项的和S100=45,则a1+a3+a5+…+a99=________.
11.(2018·
全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
12.(2019·
山东五校联考)已知等差数列{an}为递增数列,其前3项的和为-3,前3项的积为8.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
参考答案:
1.[解析]设等差数列{an}的公差为d,由3S3=S2+S4,得3(3a1+3d)=2a1+d+4a1+6d,即3a1+2d=0.将a1=2代入上式,解得d=-3,故a5=a1+(5-1)d=2+4×
(-3)=-10.
2.解:
因为S4=a1+a2+a3+a4=4a2+2d=22,d==3,a1=a2-d=4-3=1,an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2,由3n-2=28,解得n=10.
3.解析:
选B 设等差数列{an}的公差为d,则由题意,得解得故选B.
4.解析:
选D 设数列{an}的公差为d,则a3=a2+d=d,a5=a2+3d=3d,由a3·
a5=12得d=±
2,由a1>
0,a2=0,可知d<
0,所以d=-2,所以a1=2,故S20=20×
2+×
(-2)=-340,选D.
5.解析:
选C 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
因为a5+a10=12,
所以2a1+13d=12,
所以3a7+a9=3(a1+6d)+a1+8d=4a1+26d=2(2a1+13d)=2×
12=24.
6.[解]
(1)证明:
因为an=Sn-Sn-1(n≥2),
又an=-2Sn·
Sn-1,所以Sn-1-Sn=2Sn·
Sn-1,Sn≠0.
因此-=2(n≥2).
故由等差数列的定义知是以==2为首项,2为公差的等差数列.
(2)由
(1)知=+(n-1)d=2+(n-1)×
2=2n,
即Sn=.
由于当n≥2时,有an=-2Sn·
Sn-1=-,
又因为a1=,不适合上式.
所以an=
7.解析:
选B 由Sn=an2+bn(a,b∈R)可知数列{an}是等差数列,所以S7===49.
8.证明:
∵an=2-(n≥2),∴an+1=2-.
∴bn+1-bn=-=-==1,
∴{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列.
9.[解析]因为2a1·
2a10=2a1+a2+…+a10=25(a5+a6)=25×
4,
所以log2(2a1·
2a10)=log225×
4=20.选B.
10.解:
由a5=2b5,得=2,所以===2,故选A.
11.[解析] 由{an}是等差数列,
得S3,S6-S3,S9-S6为等差数列,
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45,故选B.
12.[解析] ∵a1=29,S10=S20,
∴10a1+d=20a1+d,解得d=-2,
∴Sn=29n+×
(-2)=-n2+30n=-(n-15)2+225.
∴当n=15时,Sn取得最大值.
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