北师大版八下数学《一元一次不等式组》典型例题2Word文档格式.docx

北师大版八下数学《一元一次不等式组》典型例题2Word文档格式.docx

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30从A站开出，向E站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min，问这列火车何时行驶在D站与E站之间（不包括D站、E站）的铁路线上．

例题9某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：

（1）该厂去年已备有这种自行车的车轮10000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只轮；

（2）该厂装配车间（自行车生产最后一道工序的生产车间）每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；

（3）今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共14500辆的订货单；

（4）这种自行车出厂销售单价为500元/辆．

设该厂今年这种自行车的销售金额为万元，请你根据上述信息，判断的取值范围．

例题10某园林的门票每张10元，一次使用．考虑人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分三类：

A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；

B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；

C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式．

（2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买A在年票比较合算．

例题11有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到90分．问在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？

（满分100分，得分都是整数）

例题12　大小盒子共装球99个，每个大盒装12个，小盒装5个，恰好装完，盒子个数大于10，问：

大小盒子各多少个？

参考答案

例题1分析这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。

解答设需要A型车厢x节，

由题意得

解得，

因为x为整数，所以x取28，29，30，

即有3种方案：

（1）A型28节，B型22节；

（2）A型29节，B型21节；

（3）A型30节，B型20节，

由题意知，运费，当时，y取最小值，即A型车厢20节，B型车厢20节时运费最少．

例题2分析设有个小朋友，则苹果数为．如果每人分5个，因为最后一个小朋友的苹果数不足3个，所以应在和之间，可得不等式组．

解答设幼儿园大班共有个小朋友，根据题意得

由

（1）得；

由

（2）得．

所以不等式组的解集为．

又因为为整数，故．

所以，有6个小朋友，共有苹果3×

6＋8＝26（个）．

例题3分析因为每人只获1件奖品，故笔记本和钢笔的数量和是10，总金额不超过70元．根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子．

解答设购买本笔记本，支钢笔，依题意可得

由

（1）得，（3）

将（3）代入

（2）得，解得．

又是正整数，所以的最大值是7，即至多能买7支钢笔．

例题4　解答设底楼有间客房，则二楼有（+5）间客房，

根据题意，得，

　　　　∴9＜＜12．

　　　　依题意，又可得，

　　　∴7＜＜11．

故=10．

答：

底楼有10间客房．

　　说明本题是列不等式解应用题，在确定设未知数后，关键是找出不等式关系和列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如“不够”和“没住满”的含义．

例题5　分析此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因此可考虑用不等式组来解．

解答设小朋友x人，则有

解

（1），得，

解

（2），得，

∴

∵x为整数，∴

此时

答：

幼儿园有小朋友30人，玩具149件；

幼儿园有小朋友31人，玩具152件．

说明利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用题大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系，列出的是等式，前者寻求的是不等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．

例题6解答

（1）根据题意，x满足不等式组：

（2）解不等式组，得．

因为x是整数，所以．

因此生产方案有三种：

生产A种产品30件、B种产品20件；

或生产A种产品31件、B种产品19件；

或生产A种产品32件、B种产品18件．

例题7某校举行文艺汇演，评出一等奖5个，二等奖10个，三等奖15个，学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品中选取一件．

品名

小提琴

运动服

笛子

舞鞋

口琴

相册

笔记本

钢笔

单价（元）

120

80

24

22

16

6

5

4

（1）如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖品？

（2）学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的5倍，二等奖的奖品单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买方案？

花费最多的一种方案需要多少钱？

例题7解答

（1）根据题意得，最少花费为6×

5＋5×

10＋4×

15＝140（元）．

（2）设三等奖的奖品单价为元，根据题意得

解得．

∴方案1：

三等奖奖品单价6元，二等奖奖品单价24元，一等奖奖品单价120元．

方案2：

三等奖奖品单价4元，二等奖奖品单价16元，一等奖奖品单价80元．

∴购买方案有两种，其中花费最多需120×

5＋24×

10＋6×

15＝930（元）．

例题8分析如果设这列火车行驶至DE这段铁路线上任意一处（不包括）所经过的时间为，那么就能用的一次式表示列车所经过的路程．根据这个路程应大于（80＋50＋70）km，且小于（80＋50＋70＋60）km，就可列出不等式组，解出的取值范围．再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶在DE这段铁路线上．

解答设这列火车行驶至DE这段铁路线上任意一处（不包括）所经过的时间为，则相应所经过的路程为km．

依题意，得

解不等式

（1），得．

解不等式

（2），得．

∴不等式组的解集是．

7.5＋2.7＝10.2（时），7.5＋3.45＝10.95（时）．

这列火车行驶在DE这段铁路线上的时间是10：

12至10：

57．

说明列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性．

例题9解答

（1）去年备有和今年生产的车轮共有

1000＋1500×

12＝28000（只），

共可装配自行车的辆数为

28000÷

2＝14000（辆）．

（2）该厂全年生产自行车的辆数范围是：

全年生产自行车辆数，

即全年生产自行车辆数．

（3）今年订购自行车14500辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满足社会要求，得扩大生产能力．

（4）由上分析可知，

∴600（万元）（万元）．

说明本例中14400辆是可以生产出，但实际上原料供应只能保证生产14000辆，故计算的范围时只能用14000辆参与计算．

例题10分析讨论某次经济行为是否合算，即要看这种方式与其他方式比较是否花费最少，故本题

（2）要转化为用不等式组的知识求解．

解答

（1）因为，所以不可能选A类年票．

若选B类年票，则（次）；

若选C类年票，则（次）；

若不购买年票，则（次）．

所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，为13次．

（2）设至少超过次时，购买A类年票比较合算，则有不等式组

解得

其公共解集为．

所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票比较合算．

说明本例展示的是生活中的一件小事，但暗示我们，生活中无处不存在数学的身影，渗透在生活中的一个个细节中．

例题11分析此例中的未知量较多（如两学生前四次的平均分数，第五次测验的分数等），且没有足够的等量关系，难以列方程组求解．但题中蕴含两个不等关系：

平均分低于90分；

满分100分，即测验分数不超过100分．于是考虑利用不等式的有关知识求解．

解答设其中某个学生前4次的平均分为分，第5次测验的成绩为分，依题意有，即．

由第5次测验的成绩高于90分，而又不大于100分，得，

因为为整数，故或89．

又已知两个学生平均分数不等，故前4次的平均分一个为88分，另一个为89分，第5次测验一个学生的成绩为98分，另一个的成绩为94分．

说明利用不等式（组）解应用题，其步骤与列方程（组）解应用题大体相同．不同的是，后者探求等量关系，列出的是等式，而前者寻求不等关系，列出的是不等式，并且解不等式（组）得到的结果通常为一解集，需从解集中找出符合题意的答案．

例题12　分析问题中有两个未知量，只有一个等量关系，另外还有一个附加条件，这是一个求有条件的不定方程整数解的问题，求不定方程整数解的一种方法是观察系数特征，用试验的办法求解．

解答设大、小盒分别有x个、y个，根据题意得：

由①知y为奇数，且，

∵x为自然数，∴通过试验可得时，，

但与矛盾，故舍去，

当时，，即

也可以用逐步代换的方法（常规方法）求解如下：

由①得，

设，则

再设，则

再设，得（t为整数）逐步回代得（t为整数）．

由于x，y均为自然数，即

∴∴或1．

当时，，但与矛盾，舍去．

当时，，符合题意．

说明不定方程组可以通过消元转化为二元一次不定方程求解，如中国古代“百鸡问题”、“孙子定理”、“鸡兔同笼”等，都属于这一类求解问题．