高考必做导数压轴题Word文档下载推荐.doc
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+
↘
极小值
↗
所以当时,有最小值.
(2)证明:
曲线在点处的切线斜率
曲线在点P处的切线方程为.
令,得,∴
∵,∴,即.
又∵,∴
所以.
2.(2009天津理20,极值比较讨论)
已知函数其中
⑴当时,求曲线处的切线的斜率;
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
⑵当时,求函数的单调区间与极值.
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
⑴
⑵w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
以下分两种情况讨论:
①>,则<.当变化时,的变化情况如下表:
—
极大值
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
②<,则>,当变化时,的变化情况如下表:
3.已知函数
⑴设两曲线有公共点,且在公共点处的切线相同,若,试建立关于的函数关系式,并求的最大值;
⑵若在(0,4)上为单调函数,求的取值范围。
4.(最值,按区间端点讨论)
已知函数f(x)=lnx-.
(1)当a>
0时,判断f(x)在定义域上的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值.
(1)由题得f(x)的定义域为(0,+∞),且f′(x)=+=.
∵a>
0,∴f′(x)>
0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数.
(2)由
(1)可知:
f′(x)=,
①若a≥-1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴f(x)min=f
(1)=-a=,∴a=-(舍去).
②若a≤-e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴f(x)min=f(e)=1-=,∴a=-(舍去).
③若-e<
a<
-1,令f′(x)=0,得x=-a.
当1<
x<
-a时,f′(x)<
0,∴f(x)在(1,-a)上为减函数;
当-a<
e时,f′(x)>
0,∴f(x)在(-a,e)上为增函数,
∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=⇒a=-.
综上可知:
a=-.
5.(最值直接应用)已知函数,其中.
(Ⅰ)若是的极值点,求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围.
(Ⅰ).
依题意,令,解得.经检验,时,符合题意.
(Ⅱ)解:
①当时,.
故的单调增区间是;
单调减区间是.
②当时,令,得,或.
当时,与的情况如下:
所以,的单调增区间是;
单调减区间是和.
当时,的单调减区间是.
当时,,与的情况如下:
③当时,的单调增区间是;
综上,当时,的增区间是,减区间是;
当时,的增区间是,减区间是和;
当时,的减区间是;
当时,的增区间是;
减区间是和.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知时,在上单调递增,由,知不合题意.
当时,在的最大值是,
由,知不合题意.
当时,在单调递减,
可得在上的最大值是,符合题意.
所以,在上的最大值是时,的取值范围是.
6.(2010北京理数18)
已知函数=ln(1+)-+(≥0).
(Ⅰ)当=2时,求曲线=在点(1,
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求的单调区间.
(I)当时,,
由于,,
所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;
在区间上,.
故得单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;
在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时,故得单调递增区间是.
当时,,得,.
所以没在区间和上,;
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
7.(2010山东文21,单调性)
已知函数
⑴当时,求曲线在点处的切线方程;
⑵当时,讨论的单调性.
⑵因为,
所以,,
令
8.(是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)
⑴若函数φ(x)=f(x)-,求函数φ(x)的单调区间;
⑵设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0,f(x0))处的切线,证明:
在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.
(Ⅰ),.
∵且,∴∴函数的单调递增区间为.
(Ⅱ)∵,∴,
∴切线的方程为,即,①
设直线与曲线相切于点,
∵,∴,∴,∴.
∴直线也为,即,②
由①②得,∴.
下证:
在区间(1,+)上存在且唯一.
由(Ⅰ)可知,在区间上递增.
又,,
结合零点存在性定理,说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立.
9.(最值应用,转换变量)
设函数.
(1)讨论函数在定义域内的单调性;
(2)当时,任意,恒成立,求实数的取值范围.
⑴.
当时,,增区间为,减区间为,.
当时,,减区间为.
⑵由⑴知,当时,在上单调递减,
∴,≤,
即≤.
∵恒成立,
∴>,即,
又,∴.
∵,∴,∴≤.
10.(最值应用)
已知二次函数对都满足且,设函数(,).
(Ⅰ)求的表达式;
(Ⅱ)若,使成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)设,,求证:
对于,恒有.
(Ⅰ)设,于是
所以
又,则.所以.…………3分
(Ⅱ)
当m>
0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;
…………4分
当m=0时,对,恒成立;
…………5分
当m<
0时,由,列表:
x
-
+
减
极小
增
所以若,恒成立,则实数m的取值范围是.
故使成立,实数m的取值范围.…………9分
(Ⅲ)因为对,所以在内单调递减.
于是
记,则
所以函数在是单调增函数,
所以,故命题成立.…………12分
11.设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系式(用表示),并求的单调区间;
(2)设,若存在,使得成立,求的取值范围.
(1)∵
∴由题意得:
,即,
∴且
令得,
∵是函数的一个极值点
∴,即
故与的关系式为.
当时,,由得单增区间为:
;
由得单减区间为:
和;
(2)由
(1)知:
当时,,在上单调递增,在上单调递减,,
∴在上的值域为.
易知在上是增函数,
由于,
又∵要存在,使得成立,
∴必须且只须解得:
.
所以,的取值范围为.
12..
(1)若,求函数的极值;
(2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式(用表示),并确定的单调区间;
(3)在
(2)的条件下,设,函数.若存在使得成立,求的取值范围.
解:
(1)∵
当时,,则.
令得,∵,∴,解得
∵当时,,
当时,当时
∴当时,函数有极大值,,
当时,函数有极小值,.
(2)由
(1)知
∵是函数的一个极值点∴
即,解得
则=
令,得或
∵是极值点,∴,即.
当即时,由得或
由得
由得.
当时,单调递增区间为和,递减区间为
当时,单调递增区间为和,递减区间为。
(3)由2)知:
当a>
0时,在区间(0,1)上的单调递减,
在区间(1,4)上单调递增,
∴函数在区间上的最小值为
又∵,,
∴函数在区间[0,4]上的值域是,即]
又在区间[0,4]上是增函数,
且它在区间[0,4]上的值域是.
∵-==,
∴存在使得成立只须
-<
1..
13.(2010山东,两边分求,最小值与最大值)
已知函数.
⑴当时,讨论的单调性;
⑵设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.
本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;
考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.
(1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;
(2)利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.
⑴,
令
①当时,,当,函数单调递减;
当,函数单调递增.
②当时,由,即,解得.
当时,恒成立,此时,函数单调递减;
当时,,时,函数单调递减;
时,,函数单调递增;
时,,函数单调递减.
当时,当,函数单调递减;
综上所述:
当时,函数在单调递减,单调递增;
当时,恒成立,此时,函数在单调递减;
当时,函数在递减,递增,递减.
⑵当时,在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意,
有,
又已知存在,使,所以,,(※)
又
当时,与(※)矛盾;
当时,也与(※)矛盾;
综上,实数的取值范围是.
14.设函数.
(Ⅰ)当时,过原点的直线与函数的图象相切于点P,求点P的坐标;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,设函数,若对于],[0,1]
使≥成立,求实数b的取值范围.(是自然对数的底,)
函数的定义域为,
(Ⅰ)设点,当时,,则,,∴
解得,故点P的坐标为
∵∴
∴当,或时,当时,
故当时,函数的单调递增区间为;
单调递减区间为,
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