圆周运动的临界极值问题Word文档下载推荐.docx
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1)画出小球的受力示意图
2)写出小球过最高点的动力学方程
3)若小球刚好过最高点,,此时V=
2、杆球(圆管)模型(已知杆长L,小球质量m,线速度V)
1)若小球刚好过最高点,杆对球的作用力,方向此时V=
2)若,则杆对球的作用力。
3)若,则杆对球的作用力,方向。
4)若,则杆对球的作用力,方向。
【典例学习】
【典例1】
(多选)如图,两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO′的距离为l,b与转轴的距离为2l,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,重力加速度大小为g。
若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω=是b开始滑动的临界角速度
D.当ω=时,a所受摩擦力的大小为kmg
答案AC
解析木块a、b的质量相同,外界对它们做圆周运动提供的最大向心力,即最大静摩擦力Ffm=kmg相同。
它们所需的向心力由F向=mω2r
知,Fa<
Fb,所以b一定比a先开始滑动,A项正确;
a、b一起绕转轴缓慢地转动时,F摩=mω2r,r不同,所受的摩擦力不同,B项错;
b开始滑动时有kmg=mω2·
2l,其临界角速度为ωb=,选项C正确;
当ω=时,a所受摩擦力大小为Ff=mω2r=kmg,选项D错误
【典例2】如图所示,水平杆固定在竖直杆上,两者互相垂直,水平杆上O、A两点连接有两轻绳,两绳的另一端都系在质量为m的小球上,OA=OB=AB,现通过转动竖直杆,使水平杆在水平面内做匀速圆周运动,三角形OAB始终在竖直平面内,若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态,则下列说法正确的是( )
A.OB绳的拉力范围为0~mg
B.OB绳的拉力范围为mg~mg
C.AB绳的拉力范围为mg~mg
D.AB绳的拉力范围为0~mg
答案B
解析当转动的角速度为零时,OB绳的拉力最小,AB绳的拉力最大,这时两者的值相同,设为F1,则2F1cos 30°
=mg,F1=mg,增大转动的角速度,当AB绳的拉力刚好等于零时,OB绳的拉力最大,设这时OB绳的拉力为F2,则F2cos 30°
=mg,F2=mg,因此OB绳的拉力范围为mg~mg,AB绳的拉力范围为0~mg,B项正确。
【典例3】
(多选)如图所示,两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上,两者用长为L的细绳连接,木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍,A放在距离转轴L处,整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动,开始时,绳恰好伸直但无弹力,现让该装置从静止开始转动,使角速度缓慢增大,以下说法正确的是( )
A.当ω>时,A、B相对于转盘会滑动
B.当ω>时,绳子一定有弹力
C.ω在<ω<范围内增大时,B所受摩擦力变大
D.ω在0<ω<范围内增大时,A所受摩擦力一直变大
答案ABD
解析:
当AB所受静摩擦力均达到最大值时,A、B相对转盘将会滑动,Kmg+Kmg=mω2L+mω2·
2L,解得:
ω=,A项正确;
当B所受静摩擦力达到最大值后,绳子开始有弹力,即:
Kmg=mω2·
ω=,B项正确;
当<ω<时,随角速度的增大,绳子拉力不断增大,B所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变,C项错误;
0<ω≤时,A所受摩擦力提供向心力,即Ff=mω2L,静摩擦力随角速度增大而增大,当<ω<时,以AB整体为研究对象,FfA+Kmg=mω2L+mω2·
2L,可知A受静摩擦力随角速度的增大而增大,D项正确.
【典例4】如图所示,两绳系一质量为m=0.1kg的小球,上面绳长L=2m,两端都拉直时与轴的夹角分别为30°
与45°
,问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧,当角速度为3rad/s时,上、下两绳拉力分别为多大?
①当角速度ω很小时,AC和BC与轴的夹角都很小,BC并不张紧。
当ω逐渐增大到30°
时,BC才被拉直(这是一个临界状态),但BC绳中的张力仍然为零。
设这时的角速度为ω1,则有:
TACcos30°
=mg
TACsin30°
=mω12Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω1=2.4rad/s
②当角速度ω继续增大时TAC减小,TBC增大。
设角速度达到ω2时,TAC=0(这又是一个临界状态),
则有:
TBCcos45°
TBCsin45°
=mω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω2=3.16rad/s
所以 当ω满足2.4rad/s≤ω≤3.16rad/s,AC、BC两绳始终张紧。
本题所给条件 ω=3rad/s,此时两绳拉力TAC 、TBC都存在。
+TBCsin45°
=mω2Lsin30°
+TBCcos45°
将数据代入上面两式解得 TAC=0.27N, TBC=1.09N
【典例5】长为L的细绳,一端系一质量为m的小球,另一端固定于某点,当绳竖直时小球静止,再给小球一水平初速度,使小球在竖直平面内做圆周运动,并且刚好能过最高点,则下列说法中正确的是()
A.球过最高点时,速度为零B.球过最高点时,绳的拉力为mg
C.开始运动时,绳的拉力为D.球过最高点时,速度大小为
开始运动时,由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力,即,,可见C不正确;
小球刚好过最高点时,绳拉力为0,,,所以,A、B、C均不正确。
故选:
D
【典例6】:
如图6-11-3所示,一轻杆一端固定质量为m的小球,以另一端O为圆心,使小球做半径为R的圆周运动,以下说法正确的是()
A.球过最高点时,杆所受的弹力可以等于零
B.球过最高点时,最小速度为
C.球过最高点时,杆对球的弹力一定与球的重力方向相反
D.球过最高点时,杆对球的弹力可以与球的重力反向,此时重力一定大于杆对球的弹力
小球用轻杆支持过最高点时,,故B不正确;
当时,F=0故A正确。
当0<
v<
时,mg>
F>
0,F为支持力故D正确。
当v>
时,F>
0,F为拉力,故C不正确。
A、D
【学习检测】
1.如图,一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动,紧贴在一起的M、N两物体(可视为质点)随圆盘做圆周运动,N恰好不下滑,M恰好不滑动,两物体与转轴距离为r,已知M与N间的动摩擦因数为μ1,M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2,最大静摩擦力等于滑动摩擦力.μ1与μ2应满足的关系式为( )
A.μ1+μ2=1 B.=1
C.μ1μ2=1D.=1
2.(多选)如图所示,水平转台上有一个质量为m的物块,用长为l的轻质细绳将物块连接在转轴上,细绳与竖直转轴的夹角θ=30°
,此时细绳伸直但无张力,物块与转台间动摩擦因数为μ=,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,物块随转台由静止开始缓慢加速转动,角速度为ω,重力加速度为g,则( )
A.当ω=时,细绳的拉力为0
B.当ω=时,物块与转台间的摩擦力为0
C.当ω=时,细绳的拉力大小为mg
D.当ω=时,细绳的拉力大小为mg
3.绳系着装水的水桶,在竖直平面内做圆周运动,水的质量m=0.5kg,绳长
L=40cm,求:
(1)为使桶在最高点时水不流出,桶的最小速率?
(2)桶在最高点速率v=3m/s时,水对桶底的压力?
【巩固提升】
1对滑冰运动员的最大摩擦力为其重力的k倍,在水平冰面上沿半径为R的圆周滑行的运动员,若仅依靠摩擦力来提供向心力而不冲出圆形滑道,其运动的速度应满足
A.v≥B.v≤C.v≤D.v≤
2如图所示,用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上,细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B,A的重心到O点的距离为0.2m.若A与转盘间的最大静摩擦力为Ff=2N,为使小球B保持静止,求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围.(取g=10m/s2)
3质量为mA和mB的两个小球A和B用轻质弹簧连在一起,用长为L1的细绳将A球系于O轴上,使AB两球均以角速度ω在光滑的水平面上绕OO′轴做匀速圆周运动,如图所示,当两球间的距离为L2时,将线烧断,线被烧断的瞬间,两球加速度aA和aB各是多少?
4.(多选)如图所示,细杆的一端与小球相连,可绕过O点的水平轴自由转动,现给小球一初速度,使它做圆周运动,图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点,则杆对球的作用力可能是()
A.a处为拉力,b处为拉力
B.a处为拉力,b处为推力
C.a处为推力,b处为拉力
D.a处为推力,b处为推力
5.如图所示,杆长为L,杆的一端固定一质量为m的小球,杆的质量忽略不计,整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动,求:
(1)小球在最高点A时速度为多大时,才能使杆对小球m的作用力为零?
(2)小球在最高点A时,杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少?
6.如图所示,固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道ABCD,其A点与圆心等高,D点为轨道最高点,DB为竖直线,AC为水平线,AE为水
平面,今使小球自A点正上方某处由静止释放,且从A点进入
圆形轨道运动,通过适当调整释放点的高度,总能保证小球最终
通过最高点D,则小球在通过D点后()
A.会落到水平面AE上
B.一定会再次落到圆轨道上
C.可能会落到水平面AE上
D.可能会再次落到圆轨道上
7.如图所示,光滑的水平桌面上钉有两枚铁钉A、B,相距l0=1.0m.长l=1m的柔软细线一端拴在A上,另一端拴住一个质量为500g的小球,小球的初始位置在AB连线上A的一侧.把细线拉直,给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度,使它做圆周运动,由于钉子B的存在,使细线逐步缠在A、B上.若细线能承受的最大张力Fm=7N,则从开始运动到细线断裂历时多长?
圆周运动的临界、极值问题答案
1.答案C
以M、N整体作为研究对象,则受力如图1所示,静摩擦力提供向心力,有Ff=(mN+mM)ω2r,且Ff=μ2(mN+mM)g,以N为研究对象,受力分析如图2所示,M对N的弹力FN提供向心力,有FN=mNω2r,且Ff′=μ1FN=mNg,联立各式得μ1μ2=1,故C正确.
图1 图2
2.答案AC
选 当转台的角速度比较小时,物块只受重力、支持力和摩擦力,当细绳恰好要产生拉力时μmg=mωlsin30°
,解得ω1=,随角速度的增大,细绳上的拉力增大,当物块恰好要离开转台时,物块受到重力和细绳的拉力的作用,mgtan30°
=
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