DVD在线租赁问题的分析与解答Word文档格式.docx

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会员提交的订单包括多DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。

会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。

每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3DVD。

会员看完3DVD之后，只需要将DVD放进提供的信封里寄回（邮费由承担），就可以继续下次租赁。

请考虑以下问题：

（1）正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。

此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。

假设现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月能够看到该DVD。

如果要求保证在三个月至少95%的会员能够看到该DVD呢。

表1对1000个会员调查的部分结果

DVD名称

DVD1

DVD2

DVD3

DVD4

DVD5

愿意观看的人数

200

100

50

25

10

（2）本题列出了手上100种DVD的现有数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度。

请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。

（3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。

如果你是经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大。

二、问题的分析

对于问题一，要求每种DVD的数使其满足题目要求，我们首先假定一种归还模式，即借两次的会员15号前归还一次，月底归还第二次；

根据所给数据利用五种光碟租赁之间数目的独立性建立满足条件的模型即可解出。

对于问题二，要求探求DVD的分配模式使会员获得最大满意度，我们先对满意度进行定义，然后用0-1变量对DVD分配情况进行刻画，若分得DVD记为1，否则记为0，再利用DVD供给和订单要求建立求和优化模型进行求解。

对于问题三，因为掌握的数据只有1000订单，我们首先利用概率论知识分析订单中的数据，在规定运行模式的基础上，对两个目标进行分别设定，最后利用运筹学M调和关系系数的方法整合成一个目标，利用所给条件进行最优求解。

三、模型假设与符号说明

1．模型假设

（1）的运行模式为：

借两次的会员在15号前还第一次，第二次归还在月底，借一次的会员在月底还。

（2）发给客户的所DVD都是自己喜欢的，即客户订单中所要求的DVD，发货时不存在发错现象，若出现缺货现象则不发货。

（3）假设在每次会员提交的订单中对每种DVD的征订不会有较大差别，即各种DVD征订的比例不会有较大差别，保持恒定。

2．符号说明

符号

说明

发给客户第DVD

客户对第DVD的满意度

在发货时的总体满意度

拥有第DVD的总量

四、模型建立与求解

4.1问题1

4.1.1问题分析

对于问题一第一问，根据题意，对五种光碟的借出是相互独立的，因为由假设每位会员借到的都是自己喜欢的，那么DVD1的会员还会借其它的光碟，如若借到DVD2到DVD5则将其认为是剩余50%没有借到的。

设为DVD1到DVD5满足要求的最少数，为DVD1到DVD5愿意观看的人数。

在本题中，其值分别为20000、10000、5000、2500、1000，根据一位会员对应一个光碟，则需满足：

-----------------------

（1）

其中为借两次的会员所返还的。

对于第二问，则由第一问知，应满足：

--------------

（2）

根据各个DVD数量之间的的独立性，建立模型如下：

4.1.2问题求解

根据上述不等式

（1）利用lingo求解（程序见附录1）得，为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月能够看到该DVD，各种DVD的最少数目如下表所示：

满足条件至少需要的数

6250

3125

1563

782

313

根据上述不等式

（2）利用lingo求解（程序见附录2）得，为保证在三个月至少95%的会员能够看到该DVD，各种DVD的最少数目如下表所示：

3959

1980

990

495

198

4.2问题2

4.2.1模型建立

（1）满意度定义

由题意可知，数字越小偏爱程度越高，而所给数据涉及“0”的问题（即此顾客对该DVD未提交订单），为解决这种情况的干扰，我们定义满意度为：

，

其中为第位会员对第种光碟的满意度刻画（此处用数字进行刻画，数字越小代表偏爱程度越大）。

满意度最大即最大。

（2）0-1变量的定义。

引进0-1变量

（3）优化模型

根据

（1）、

（2）分析可知优化模型如下：

其中为第种光碟的数。

4.2.2模型求解

用lingo求解，具体程序见附录3，结果为：

偏爱度之和最大为24746

对于前30会员（即C0001~C0030）获得的DVD情况如下表所示：

会员编号

DVD编号

C0001

DVD8

DVD41

DVD98

C0002

DVD6

DVD44

DVD62

C0003

DVD32

DVD50

DVD80

C0004

DVD7

DVD18

C0005

DVD66

DVD68

DVD11

C0006

DVD19

DVD53

C0007

DVD26

DVD81

C0008

DVD31

DVD35

DVD71

C0009

DVD78

DVD100

C0010

DVD55

DVD85

C0011

DVD59

DVD63

C0012

C0013

DVD21

DVD96

C0014

DVD52

DVD23

DVD89

C0015

DVD13

C0016

DVD84

DVD97

DVD10

C0017

DVD67

DVD47

DVD51

C0018

DVD60

C0019

DVD86

C0020

DVD45

DVD61

C0021

C0022

DVD57

DVD38

C0023

DVD95

DVD29

C0024

DVD76

DVD37

C0025

DVD9

DVD69

DVD94

C0026

DVD22

C0027

DVD58

C0028

DVD34

C0029

DVD30

C0030

4.3问题3

4.3.1模型建立

对于问题3，首先假设所需要的100种DVD的总量分别为，依然满足所给表中的满意度条件和DVD供需总量之间的关系，即：

假设每次想借第iDVD的人数为，还要满足一个月95%的会员得到他想看的DVD要求，假设对于每种DVD每次都能借出，在这1000订单中还要租赁第二次的占总数的比例为（也就代表会有人归还）即：

根据问题三中的两个目标，利用多目标规划理论，建立模型如下：

4.3.2模型求解

借助第一题的条件，即借两次的客户占的比例为，由表中数据得出，利用lingo求解，得出100种DVD的总量如下表所示，

DVD号

数

55

52

59

47

60

56

DVD12

DVD14

DVD15

DVD16

DVD17

54

57

58

51

61

DVD20

DVD24

DVD25

DVD27

69

65

53

DVD28

DVD33

DVD36

49

DVD39

DVD40

DVD42

DVD43

71

62

63

DVD46

DVD48

DVD49

DVD54

64

DVD56

46

DVD64

DVD65

DV