高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)文档格式.doc
- 文档编号:15068409
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOC
- 页数:14
- 大小:464KB
高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)文档格式.doc
《高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)文档格式.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学(理科)二轮复习【专题1】不等式与线性规划(含答案)文档格式.doc(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(4)简单对数不等式的解法
1时,logaf(x)>
logag(x)⇔f(x)>
g(x)且f(x)>
0,g(x)>
0;
logag(x)⇔f(x)<
0.
2.五个重要不等式
(1)|a|≥0,a2≥0(a∈R).
(2)a2+b2≥2ab(a、b∈R).
(3)≥(a>
0,b>
0).
(4)ab≤()2(a,b∈R).
(5)≥≥≥(a>
3.二元一次不等式(组)和简单的线性规划
(1)线性规划问题的有关概念:
线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等.
(2)解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤:
①画出可行域;
②根据线性目标函数的几何意义确定最优解;
③求出目标函数的最大值或者最小值.
4.两个常用结论
(1)ax2+bx+c>
0(a≠0)恒成立的条件是
(2)ax2+bx+c<
热点一 一元二次不等式的解法
例1
(1)(2013·
安徽)已知一元二次不等式f(x)<
0的解集为,则f(10x)>
0的解集为________.
(2)已知函数f(x)=(x-2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则f(2-x)>
思维启迪
(1)利用换元思想,设10x=t,先解f(t)>
0.
(2)利用f(x)是偶函数求b,再解f(2-x)>
答案
(1){x|x<
-lg2}
(2){x|x<
0或x>
4}
解析
(1)由已知条件0<
10x<
,
解得x<
lg
=-lg2.
(2)由题意可知f(-x)=f(x).
即(-x-2)(-ax+b)=(x-2)(ax+b),
化简得(2a-b)x=0恒成立,
故2a-b=0,即b=2a,则f(x)=a(x-2)(x+2).
又函数在(0,+∞)单调递增,所以a>
f(2-x)>
0即ax(x-4)>
0,解得x<
4.
思维升华 二次函数、二次不等式是高中数学的基础知识,也是高考的热点,“三个二次”的相互转化体现了转化与化归的数学思想方法.
(1)不等式≤0的解集为________.
(2)已知p:
∃x0∈R,mx+1≤0,q:
∀x∈R,x2+mx+1>
0.若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是______________________________________________________________.
答案
(1)(-,1]
(2)(-2,0)
解析
(1)原不等式等价于(x-1)(2x+1)<
0或x-1=0,即-<
x<
1或x=1,所以不等式的解集为(-,1].
(2)p∧q为真命题,等价于p,q均为真命题.命题p为真时,m<
命题q为真时,Δ=m2-4<
0,解得-2<
m<
2.故p∧q为真时,-2<
热点二 基本不等式的应用
例2
(1)(2014·
湖北)某项研究表明:
在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:
辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:
米/秒)、平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式为F=.
①如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/时;
②如果限定车型,l=5,则最大车流量比①中的最大车流量增加________辆/时.
(2)(2013·
山东改编)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最大值时,+-的最大值为________.
思维启迪
(1)把所给l值代入,分子分母同除以v,构造基本不等式的形式求最值;
(2)关键是寻找取得最大值时的条件.
答案
(1)①1900 ②100
(2)1
解析
(1)①当l=6.05时,F=
=≤==1900.
当且仅当v=11米/秒时等号成立,此时车流量最大为1900辆/时.
②当l=5时,F==≤==2000.
当且仅当v=10米/秒时等号成立,此时车流量最大为2000辆/时,比①中的最大车流量增加100辆/时.
(2)由已知得z=x2-3xy+4y2,(*)
则==≤1,当且仅当x=2y时取等号,把x=2y代入(*)式,得z=2y2,
所以+-=+-=-2+1≤1,
所以当且仅当y=1时,+-的最大值为1.
思维升华 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.
(1)若点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,则mn的最大值为________.
(2)已知关于x的不等式2x+≥7在x∈(a,+∞)上恒成立,则实数a的最小值为________.
答案
(1)3
(2)
解析
(1)因为点A(m,n)在第一象限,且在直线+=1上,所以m,n>
0,且+=1.
所以·
≤()2(当且仅当==,即m=,n=2时,取等号).所以·
≤,即mn≤3,
所以mn的最大值为3.
(2)2x+=2(x-a)++2a
≥2·
+2a=4+2a,
由题意可知4+2a≥7,得a≥,
即实数a的最小值为.
热点三 简单的线性规划问题
例3 (2013·
湖北)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行,A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1600元/辆和2400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为________元.
思维启迪 通过设变量将实际问题转化为线性规划问题.
答案 36800
解析 设租A型车x辆,B型车y辆时,租金为z元,
则z=1600x+2400y,且x,y满足
画出可行域如图,
直线y=-x+过点
A(5,12)时纵截距最小,
所以zmin=5×
1600+2400×
12=36800,
故租金最少为36800元.
思维升华
(1)线性规划问题一般有三种题型:
一是求最值;
二是求区域面积;
三是确定目标函数中的字母系数的取值范围.
(2)解决线性规划问题首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,利用数形结合找到目标函数的最优解.(3)对于应用问题,要准确地设出变量,确定可行域和目标函数.
(1)已知实数x,y满足约束条件,则w=的最小值是________.
北京)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求得m的取值范围是________.
答案
(1)1
(2)
解析
(1)画出可行域,如图所示.
w=表示可行域内的点(x,y)与定点P(0,-1)连线的斜率,观察图形可知PA的斜率最小为=1.
(2)当m≥0时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存在点P(x0,y0)满足x0-2y0=2,因此m<
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域.
要使可行域内包含y=x-1上的点,只需可行域边界点
(-m,m)在直线y=x-1的下方即可,即m<
-m-1,解得m<
-.
1.几类不等式的解法
一元二次不等式解集的端点值是相应一元二次方程的根,也是相应的二次函数图象与x轴交点的横坐标,即二次函数的零点;
分式不等式可转化为整式不等式(组)来解;
以函数为背景的不等式可利用函数的单调性进行转化.
2.基本不等式的作用
二元基本不等式具有将“积式”转化为“和式”或将“和式”转化为“积式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式或求函数的最值或解决不等式恒成立问题.解决问题的关键是弄清分式代数式、函数解析式、不等式的结构特点,选择好利用基本不等式的切入点,并创造基本不等式的应用背景,如通过“代换”、“拆项”、“凑项”等技巧,改变原式的结构使其具备基本不等式的应用条件.利用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的条件,三个条件缺一不可.
3.线性规划问题的基本步骤
(1)定域——画出不等式(组)所表示的平面区域,注意平面区域的边界与不等式中的不等号的对应;
(2)平移——画出目标函数等于0时所表示的直线l,平行移动直线,让其与平面区域有公共点,根据目标函数的几何意义确定最优解,注意要熟练把握最常见的几类目标函数的几何意义;
(3)求值——利用直线方程构成的方程组求解最优解的坐标,代入目标函数,求出最值.
真题感悟
1.(2014·
山东改编)已知实数x,y满足ax<
ay(0<
1),则下列关系式恒成立的是________.
①>
;
②ln(x2+1)>
ln(y2+1);
③sinx>
siny;
④x3>
y3.
答案 ④
解析 因为0<
1,ax<
ay,所以x>
y.采用赋值法判断,①中,当x=1,y=0时,<
1,①不成立.②中,当x=0,y=-1时,ln1<
ln2,②不成立.③中,当x=0,y=-π时,sinx=siny=0,③不成立.④中,因为函数y=x3在R上是增函数,故④恒成立.
2.(2014·
浙江)当实数x,y满足时,1≤ax+y≤4恒成立,则实数a的取值范围是________.
答案 [1,]
解析 画可行域如图所示,设目标函数z=ax+y,即y=-ax+z,要使1≤z≤4恒成立,则a>
0,数形结合知,满足即可,解得1≤a≤.所以a的取值范围是1≤a≤.
押题精练
1.为了迎接2015年3月8日的到来,某商场举行了促销活动,经测算某产品的销售量P万件(生产量与销售量相等)与促销费用x万元满足P=3-,已知生产该产品还需投入成本(10+2P)万元(不含促销费用),产品的销售价格定为(4+)万元/万件,则促销费用投入________万元时,厂家的利润最大?
答案 1
解析 设该产品的利润为y万元,由题意知,该产品售价为2×
()万元,所以y=2×
()×
P-10-2P-x=16--x(x>
0),所以y=17-(+x+1)≤17-2=13(当且仅当=x+1,即x=1时取等号),所以促销费用投入1万元时,厂家的利润最大.
2.若点P(x,y)满足线性约束条件点A(3,),O为坐标原点,则·
的最大值为________.
答案 6
解析 由题意,知=(3,),=(x,y),则·
=3x+y.
令z=3x+y,
如图画出不等式组所表示的可行域,
可知当直线y=-x+z经过点B时,z取得最大值.
由解得即B(1,),故z的最大值为3×
1+×
=6.
即·
的最大值为6.
3.如果关于x的不等式f(x)<
0和g(x)<
0的解集分别为(a,b),(,),那么称这两个不等式为“对偶不等式”,如果不等式x2-4xcos2θ+2<
0与不等式2x2+4xsin2θ+1<
0为“对偶不等式”,且θ∈(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 专题1 高考 数学 理科 二轮 复习 专题 不等式 线性规划 答案