平面基本性质及推论Word文件下载.docx

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推论3:

经过两条平行直线，有且只有一个平面.

2.直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

｛共面直线｛平行相交异面直线：

既不相交又不平行的直线•

（2）异面直线所成的角

①定义：

设a,b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a'

//a,b'

//b,把a'

与b'

所成的锐角或直角叫做异面直线a,b所成的角（或夹角）.

3.直线和平面、平面和平面的位置关系

（1）直线和平面有：

平行、相交和在平面内三种位置关系.

（2）平面和平面有：

平行、相交函种位置关系.

4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.平行公理：

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

6.等角定理：

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

助修<

博

两种方法

异面直线的判定方法：

（1）判定定理：

平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面

直线.

（2）反证法：

证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.三个作用

（1）公理1的作用：

①检验平面；

②判断直线在平面内；

③由直线在平面内判断直线上的点在平面内.

（2）公理2的作用：

公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法.

⑶公理3的作用：

①判定两平面相交；

②作两平面相交的交线；

③证明多点共线.

双基自测

1.（人教B版教材习题改编）下列命题是真命题的是（）.

A•空间中不同三点确定一个平面

B.空间中两两相交的三条直线确定一个平面

C.一条直线和一个点能确定一个平面

D.梯形一定是平面图形

解析空间中不共线的三点确定一个平面，A错；

空间中两两相交不交于一点的三条直

线确定一个平面，B错；

经过直线和直线外一点确定一个平面，C错；

故D正确.

答案D

2.已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a,那么c与b（）.

A•一定是异面直线B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线D.不可能是相交直线

解析由已知直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，若

b/6,贝Ua/b，与已知a、b为异面直线相矛盾.

答案C

3.（2011浙江）下列命题中错误的是（）.

A.如果平面a丄平面3,那么平面a内一定存在直线平行于平面3

B.如果平面a不垂直于平面3,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面3

C.如果平面a丄平面y平面肚平面yaCl3=l,那么I丄平面丫

D.如果平面a丄平面3,那么平面a内所有直线都垂直于平面3

解析对于D,若平面a丄平面3,则平面a内的直线可能不垂直于平面3,甚至可能平

行于平面3,其余选项均是正确的.

4.（2011武汉月考）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有

异面直线（）.

D.48对

A.12对B.24对C.36对

解析

AB

四条，因为各棱具有相同的位

12X4,

厂=24（对）.

如图所示,与AB异面的直线有B1C仁CC1,A1D1,DD1

置且正方体共有12条棱,排除两棱的重复计算，共有异面直线答案B

5.两个不重合的平面可以把空间分成部分.

02

答案3或4

KAOXIANGTAIMJIUDAOXU

W考向探究导桁

考向一平面的基本性质

【例1】?

正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、BQi的中点，那么,正方体的过P、Q、R的截面图形是（）.

A•三角形B•四边形C•五边形D.六边形

［审题视点］过正方体棱上的点P、Q、R的截面要和正方体的每个面有交线.解析

如图所示，作RG/PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB交于M,连接MR交BB1于E,连接PE、RE为截面的部分外形.

同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F，连接QF,FG.

•••截面为六边形PQFGRE.

画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共

可以更快的确定交线的位

点即可确定.作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,

置.

【训练1】下列如图所示是正方体和正四面体,

P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则

四个点共面的图形是

①②③

AQB

在④图中，可证

Q点所在棱与面PRS平行，因此,

P、Q、R、S四点不共面.可证①

A1A与BC

中四边形PQRS为梯形；

③中可证四边形PQRS为平行四边形；

②中如图所示取

的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS为正六边形.答案①②③

考向二异面直线

【例2】？

如图所示，

B

正方体ABCDAiBiCiDi中，M、N分别是AiBi、B1C1的中点.问：

（1）AM和CN是否是异面直线？

说明理由；

（2）DiB和CCi是否是异面直线？

说明理由.

［审题视点］第

（1）问，连结MN,AC,证MN/AC,即卩AM与CN共面；

第

（2）问可采用反证法.

解

（1）不是异面直线•理由如下：

连接MN、AiCi、Ac.

TM、N分别是AiBi、BiCi的中点，

二MN//A1C1.又tAiA綉CiC,

二A1ACC1为平行四边形，

•••A1C1//AC,「.MN//AC,

•••A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.

⑵是异面直线•证明如下：

•/ABCDA1B1C1D1是正方体，

•B、C、G、D1不共面.

假设d1b与CC1不是异面直线，则存在平面a使D1B?

平面a,CC1?

平面a

--D1,B、C、C1a,与ABCDA1B1C1D1是正万体矛盾.

•假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.

证明两直线为异面直线的方法

（1）定义法（不易操作）.

先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面.

【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有（填上所有正确答案的序号）.

解析如题干图

（1）中，直线GH/MIN;

图⑵中，G、H、N三点共面，但M?

面GHN，因此直线GH与MN异面;

图（3）中，连接MG,GM/HN，因此GH与MN共面；

图⑷中，G、M、N共面，但H?

面GMN,

•GH与MN异面.所以图

（2）、（4）中GH与MN异面.

答案⑵（4）

考向三异面直线所成的角

【例3】?

（2011宁波调研）正方体ABCDA1B1C1D1中.

（1）求AC与A1D所成角的大小；

⑵若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小.

［审题视点］⑴平移AiD到BiC,找出AC与AiD所成的角，再计算.⑵可证AiCi与EF

垂直.

⑴如图所示，连接ABi,BiC，由ABCDAiBiCiDi是正方体，易知AiD//BiC，从而BiC与AC所成的角就是AC与AiD所成的角.

TABi=AC=BiC,

•••/BiCA=60°

即AiD与AC所成的角为

⑵如图所示，连接AC、

AC丄BD,AC/AiCi,

•••E、F分别为AB、AD的中点,

•EF//BD,•EF丄AC.

•EF丄AiCi.

即AiCi与EF所成的角为90°

丄'

快"

沖”求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型:

利用图中已有的平行线平移；

利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；

补形平移.计

算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

【训练3】A是厶BCD平面外的一点，E,F分别是BC,AD的中点.

⑴求证：

直线EF与BD是异面直线；

（2）若AC丄BD,AC=BD，求EF与BD所成的角.

⑴证明假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是厶BCD平面外的一点相矛盾.故直线EF与BD是异面直线.

⑵解

如图，取CD的中点G,连接EG、FG,贝UEG//BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.

i

在Rt△EGF中，由EG=FG=gAC,求得/FEG=45°

即异面直线EF与BD所成的角为45°

考向四点共线、点共面、线共点的证明

【例4】？

正方体

AB和AAi的中点.求证:

ABCDAiBiCiDi中，E、F分别是⑴E、C、F四点共面；

（2）CE、DiF、DA三线共点.

［审题视点］⑴由EF/CDi可得;

⑵先证CE与DiF相交于P,再证P3D.证明

（1）如图，连接EF,CDi,AiB.

•/E、F分别是AB、AAi的中点，

•••EF//BAi.

又AiB//DiC,「.EF//CDi,

•E、C、Di>

F四点共面.

（2）•/EF//CDi,EFVCDi,

•CE与DiF必相交，设交点为P,

则由P€CE,CE?

平面ABCD,

得P€平面ABCD.

同理P€平面ADDiAi.

又平面ABCD门平面ADDiAi=DA,

•P€直线DA,•CE、DiF、DA三线共点.

要证明点共线或线共点的问题，关键是转化为证明点在直线上，也就是利用

平面的基本性质3,即证点在两个平面的交线上•或者选择其中两点确定一直线，然后证明

另一点也在此直线上.

BFC

【训练4】如图所示，已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且CB=Cf=求证：

三条直线EF、GH、AC交于一点.

证明•/E、H分别为边AB、AD的中点，

iCFCG2

•-EH綉2BD，而CB=CD=3,

•FG=-，且FG//BD.

BD3

•••四边形EFGH为梯形，从而两腰EF、GH必相交于一点P.

•/P€直线EF,EF?

平面ABC,•P€平面ABC.

同理，P€平面ADC.

•P在平面ABC和平面ADC的交线AC上，故EF、