高考数学概率与统计专题复习Word格式.doc

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（二）树形图法

例2小刚和小明两位同学玩一种游戏．游戏规则为：

两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局．例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；

又如，

两人同时出象牌，则两人平局．如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、B1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？

分析：

为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。

画树状图如图树状图。

由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3种．所以P（一次出牌小刚胜小明）=

点评:

当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率

（三）列表法

例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数．请你用画树形（状）图或列表的方法求：

（1）组成的两位数是偶数的概率；

（2）组成的两位数是6的倍数的概率．

本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数

是6的倍数的可能情况。

列的表格如下：

根据表格可得两位数有：

23，24，32，34，42，43．所以

（1）两位数是偶数的概率为．

（2）两位数是6的倍数的概率为．

点评：

2.等可能事件的概率（古典概率）：

P（A）=。

3、互斥事件：

（A、B互斥，即事件A、B不可能同时发生）。

计算公式：

P（A+B）＝P（A）+P（B）。

4、对立事件：

（A、B对立，即事件A、B不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生）。

计算公式是：

P（A）+P（B）＝１；

P（）=1－P（A）；

5、独立事件：

（事件A、B的发生相互独立，互不影响）P（A•B）＝P（A）•P（B）。

提醒：

（1）如果事件A、B独立，那么事件A与、与及事件与也都是独立事件；

（2）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P（A）P（B）；

（3）如果事件A、B相互独立，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P（）P（）。

6、独立事件重复试验：

事件A在n次独立重复试验中恰好发生了次的概率（是二项展开式的第k+1项），其中为在一次独立重复试验中事件A发生的概率。

（1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。

在求解过程中常应用等价转化思想和分解（分类或分步）转化思想处理，把所求的事件：

转化为等可能事件的概率（常常采用排列组合的知识）；

转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；

利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；

看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件。

（2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；

（3）概率问题的解题规范：

①先设事件A=“…”，B=“…”；

②列式计算；

③作答。

二、随机变量.

1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；

②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；

③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。

它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量：

如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量ξ可能取的值为：

ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

…

P

有性质：

①；

②.

注意：

若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：

即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：

如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是：

[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·

p），其中n，p为参数，并记.

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.

4.几何分布：

“”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为，事A不发生记为，那么.根据相互独立事件的概率乘法分式：

于是得到随机变量ξ的概率分布列.

1

2

3

k

q

qp

我们称ξ服从几何分布，并记，其中

5.⑴超几何分布：

一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为.〔分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定＜时，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕

⑵超几何分布的另一种形式：

一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为.

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：

把个产品编号，则抽取n次共有个可能结果，等可能：

含个结果，故，即～.[我们先为k个次品选定位置，共种选法；

然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法]可以证明：

当产品总数很大而抽取个数不多时，，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.

三、数学期望与方差.

1.期望的含义：

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量的数学期望：

①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.

③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

ξ

q

p

⑵单点分布：

其分布列为：

.

⑶两点分布：

，其分布列为：

（p+q=1）

⑷二项分布：

其分布列为～.（P为发生的概率）

⑸几何分布：

其分布列为～.（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：

当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.

4.方差的性质.

⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）

其分布列为

其分布列为：

5.期望与方差的关系.

⑴如果和都存在，则

⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则

⑶期望与方差的转化：

⑷（因为为一常数）.

四、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：

对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为

图像的函数叫做ξ的密度函数，由于“”

是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：

如果随机变量ξ的概率密度为：

.（为常数，且），称ξ服从参数为的正态分布，用～表示.的表达式可简记为，它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：

若～，则ξ的期望与方差分别为：

.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线对称.

③当时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当＜时，曲线上升；

当＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；

越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3.⑴标准正态分布：

如果随机变量ξ的概率函数为，则称ξ服从标准正态分布.即～有，求出，而P（a＜≤b）的计算则是.

当标准正态分布的的X取0时，有当的X取大于0的数时，有.比如则必然小于0，如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：

若～则ξ的分布函数通

常用表示，且有.

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：

①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布.②确定一次试验中的取值是否落入范围.③做出判断：

如果，接受统计假设.如果，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：

若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为99.7％亦即落在之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.

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