冀教版年高一数学期中测试题及答案3.docx

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冀教版年高一数学期中测试题及答案3

2016-2017学年河北省廊坊市固安三中高二（下）期中数学试卷（理科）

一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）

1．复数等于（　　）

A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i

2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（　　）

A．1B．C．2D．0

3．下列各式中正确的是（　　）

A．（logax）′=B．（logax）′=C．（3x）′=3xD．（3x）′=3xln3

4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（　　）

A．25x2+9y2=0B．25x2+9y2=1C．9x2+25y2=0D．9x2+25y2=1

5．函数y=x﹣ex的增区间为（　　）

A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）

6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（　　）

A．4x﹣y﹣3=0B．x+4y﹣5=0C．4x﹣y+3=0D．x+4y+3=0

7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（　　）

A．至少有三个实数根B．至少有两个实根

C．有且只有一个实数根D．无实根

8．如图，阴影部分的面积为（　　）

A．2B．2﹣C．D．

9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（　　）

A．相交过圆心B．相交但不过圆心

C．相切D．相离

10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（　　）

A．B．C．D．

11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

12．已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）ex，若f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0，）B．（，）C．（0，）D．[，+∞）

二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）

13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π）　　．

14．观察下列等式：

①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；

②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=．

由上面两题的结构规律，你是否能提出一个猜想？

并证明你的猜想．

15．函数f（x）的定义域为R，且满足f

（2）=2，f′（x）﹣1＞0，则不等式f（x）﹣x＞0的解集为　　．

16．设曲线y=xn+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lgxn，则a1+a2+…+a99的值为　　．

三．解答题（每题12分，共计70分）

17．已知圆O的参数方程为（θ为参数，0≤θ＜2π）．

（1）求圆心和半径；

（2）若圆O上点M对应的参数θ=，求点M的坐标．

18．己知下列三个方程x2+4ax﹣4a+3=0，x2+（a﹣1）x+a2=0，x2+2ax﹣2a=0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．

19．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为ρ=4cosθ，直线l的方程为（t为参数），直线l与曲线C的公共点为T．

（1）求点T的极坐标；

（2）过点T作直线l1，若l1被曲线C截得的线段长为2，求直线l1的极坐标方程．

20．设函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R．

（1）若f（x）在x=3处取得极值，求常数a的值；

（2）若f（x）在（﹣∞，0）上为增函数，求a的取值范围．

21．已知数列{an}满足a1=a，an+1=（n∈N*）．

（1）求a2，a3，a4；

（2）猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

22．已知函数f（x）=x﹣ln（x+a）的最小值为0，其中a＞0．

（1）求a的值；

（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值；

（3）证明：

（n∈N*）．

2016-2017学年河北省廊坊市固安三中高二（下）期中数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12道题，每题5分，共60分）

1．复数等于（　　）

A．1+2iB．1﹣2iC．2+iD．2﹣i

【考点】A5：

复数代数形式的乘除运算．

【分析】将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用两个向量的乘法法则化简．

【解答】解：

复数===2+i，

故选C．

2．若y=lnx，则其图象在x=2处的切线斜率是（　　）

A．1B．C．2D．0

【考点】6H：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率．

【解答】解：

y=lnx，可得：

y′=，则其图象在x=2处的切线斜率．

故选：

B．

3．下列各式中正确的是（　　）

A．（logax）′=B．（logax）′=C．（3x）′=3xD．（3x）′=3xln3

【考点】63：

导数的运算．

【分析】根据题意，由导数的计算公式可得（logax）′=，（3x）′=3xln3，分析选项即可得答案．

【解答】解：

根据题意，对于函数y=logax，其导数y′=，

则A、B均错误；

对于函数y=3x，其导数y′=3xln3，

则C错误，D正确；

故选：

D．

4．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2+y′2=0，则曲线C的方程为（　　）

A．25x2+9y2=0B．25x2+9y2=1C．9x2+25y2=0D．9x2+25y2=1

【考点】Q5：

平面直角坐标轴中的伸缩变换．

【分析】把变换公式代入x′2+y′2=0即可得出变换前的曲线方程．

【解答】解：

把代入方程x′2+y′2=0，得25x2+9y2=0，

∴曲线C的方程为25x2+9y2=0．

故选A．

5．函数y=x﹣ex的增区间为（　　）

A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，1）

【考点】6B：

利用导数研究函数的单调性．

【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

【解答】解：

函数的导数f′（x）=1﹣ex，

由f′（x）＞0得f′（x）=1﹣ex＞0，即ex＜1即x＜0，

即函数的单调递增区间为（﹣∞，0），

故选：

C．

6．若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y﹣8=0垂直，则l的方程是（　　）

A．4x﹣y﹣3=0B．x+4y﹣5=0C．4x﹣y+3=0D．x+4y+3=0

【考点】6H：

利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】欲求l的方程，根据已知条件中：

“切线l与直线x+4y﹣8=0垂直”可得出切线的斜率，故只须求出切点的坐标即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切点坐标．从而问题解决．

【解答】解：

设与直线x+4y﹣8=0垂直的直线l为：

4x﹣y+m=0，

即曲线y=x4在某一点处的导数为4，

而y′=4x3，∴y=x4在（1，1）处导数为4，

将（1，1）代入4x﹣y+m=0，得m=﹣3，

故l的方程为4x﹣y﹣3=0．

故选A．

7．己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）•f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（　　）

A．至少有三个实数根B．至少有两个实根

C．有且只有一个实数根D．无实根

【考点】52：

函数零点的判定定理．

【分析】先根据导数判断函数f（x）在区间[m，n]上单调减，再由零点的判定定理可得答案．

【解答】解：

∵f′（x）=﹣3x2﹣1＜0，

∴f（x）在区间[m，n]上是减函数，又f（m）•f（n）＜0，

故方程f（x）=0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．

8．如图，阴影部分的面积为（　　）

A．2B．2﹣C．D．

【考点】6G：

定积分在求面积中的应用．

【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．

【解答】解：

由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx

=（3x﹣x3﹣x2）|=（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）=，

故选：

C

9．若圆的方程为（θ为参数），直线的方程为（t为参数），则直线与圆的位置关系是（　　）

A．相交过圆心B．相交但不过圆心

C．相切D．相离

【考点】QK：

圆的参数方程．

【分析】根据题意，将圆和直线的参数方程变形为普通方程，分析可得圆心不在直线上，再利用点到直线的距离公式计算可得圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d＜2，得到直线与圆的位置关系为相交．

【解答】解：

根据题意，圆的参数方程为，则圆的普通方程为：

（x+1）2+（y﹣3）2=4，

其圆心坐标为（﹣1，3），半径为2，

直线的参数方程为，则直线的普通方程为：

（y+1）=3（x+1），即y﹣3x﹣2=0，

圆心不在直线上，

且圆心（﹣1，3）到直线y﹣3x﹣2=0的距离d==＜2，

即直线与圆相交，

故选：

B．

10．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（　　）

A．B．C．D．

【考点】8E：

数列的求和．

【分析】由于数列中，1有一项，和为1，有两项，和为1，前100项中，有13项，和为1，，代入求出前100项的和．

【解答】解：

=1×

故选A．

11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）=0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）

A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）

【考点】6B：

利用导数研究函数的单调性．

【分析】先根据f’（x）g（x）+f（x）g’（x）＞0可确定[f（x）g（x）]'＞0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时递增，结合函数f（x）与g（x）的奇偶性可确定f（x）g（x）在x＞0时也是增函数，最后根据g（﹣3）=0可求得答案．

【解答】解：

设F（x）=f（x）g（x），当x＜0时，

∵F′（x）=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．

∴F（x）在当x＜0时为增函数．

∵F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=﹣f（x）•g（x）=﹣F（x）．

故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．

∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．

已知g（﹣3）=0，必有F（﹣3）=F（3）=0．

构造如图的F（x）的图象，可知

F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．

故选D

12．已知a≥0，函数f（x）=（x2﹣2ax）ex，若f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0，）B．（，）C．（0，）D．[，+∞）

【考点】6B：

利用导数研究函数的单调性．

【分析】求出原函数的导函数，由导函数在[﹣1，1]上小于等于0恒成立可得x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．转化为关于a的不等式组求解．

【解答】解：

由f（x）=（x2﹣2ax）ex，得f′（x）=（2x﹣2a）ex+（x2﹣2ax）ex=ex（x2﹣2ax+2x﹣2a）．

∵f（x）在[﹣1，1]上是单调减函数，

∴