三角函数公式大全Word文档格式.docx
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倒数关系:
商数关系:
平方关系:
.
诱导公式
公式一:
设
为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:
公式二:
为任意角,
与
的三角函数值之间的关系:
公式三:
任意角
公式四:
公式五:
公式六:
及
记背诀窍:
奇变偶不变,符号看象限.即形如(2k+1)90°
±
α,则函数名称变为余名函数,正弦变余弦,余弦变正弦,正切变余切,余切变正切。
形如2k×
90°
α,则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变,符号看象限”意义:
k×
π/2±
a(k∈z)的三角函数值.
(1)当k为偶数时,等于α的同名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号;
(2)当k为奇数时,等于α的异名三角函数值,前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。
记忆方法一:
奇变偶不变,符号看象限:
其中的奇偶是指的奇偶倍数,变余不变试制三角函数的名称变化若变,则是正弦变余弦,正切变余切------------------奇变偶不变
根据教的范围以及三角函数在哪个象限的争锋,来判断三角函数的符号-------------符号看象限
记忆方法二:
无论α是多大的角,都将α看成锐角.
以诱导公式二为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π十α是第三象限的角(终边在第三象限),正弦函数的函数值在第三象限是负值,余弦函数的函数值在第三象限是负值,正切函数的函数值在第三象限是正值.这样,就得到了诱导公式二.
以诱导公式四为例:
若将α看成锐角(终边在第一象限),则π-α是第二象限的角(终边在第二象限),正弦函数的三角函数值在第二象限是正值,余弦函数的三角函数值在第二象限是负值,正切函数的三角函数值在第二象限是负值.这样,就得到了诱导公式四.
诱导公式的应用:
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤:
特别提醒:
三角函数化简与求值时需要的知识储备:
①熟记特殊角的三角函数值;
②注意诱导公式的灵活运用;
③三角函数化简的要求是项数要最少,次数要最低,函数名最少,分母能最简,易求值最好。
基本公式
和差角公式
二角和差公式
证明如图,负号的情况只需要用-β代替β即可.cot(α+β)推导只需把角α对边设为1,过程与tan(α+β)相同.
三角和公式
和差化积
口诀:
正加正,正在前,余加余,余并肩,正减正,余在前,余减余,负正弦.
积化和差
倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明:
sin3a
=sin(a+2a)
=sin^2a·
cosa+cos^2a·
sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°
+sina)(sin60°
-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°
-a)/2]*2sin[(60°
-a)/2]cos[60°
+a)/2]
=4sinasin(60°
+a)sin(60°
-a)
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°
)(cosa+cos30°
)
=4cosa*2cos[(a+30°
)/2]cos[(a-30°
)/2]*{-2sin[(a+30°
)/2]sin[(a-30°
)/2]}
=-4cosasin(a+30°
)sin(a-30°
=-4cosasin[90°
-(60°
-a)]sin[-90°
+(60°
+a)]
=-4cosacos(60°
-a)[-cos(60°
=4cosacos(60°
-a)cos(60°
+a)
上述两式相比可得:
tan3a=tana·
tan(60°
-a)·
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式:
.
上式用于求n倍角的三角函数时,可变形为:
所以,
其中,Re表示取实数部分,Im表示取虚数部分.而
n倍角的三角函数
半角公式
(正负由
所在的象限决定)
万能公式
辅助角公式
由于
,显然
,且
故有:
三角形定理
正弦定理
在任意△ABC中,角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,三角形外接圆的半径为R.则有:
正弦定理变形可得:
余弦定理
同理,也可描述为:
勾股定理是余弦定理的特例。
当
为
时,
,余弦定理可简化为
,即勾股定理。
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