高等数学同济大学练习部分答案docWord文档下载推荐.docx

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[宀宀宀4

两式消去x得母线平行于兀轴的柱而方程：

3j2-5z2+8=0o

两式消去y得母线平行于y轴的柱面方程：

3x2+2z2=20o

P20—习题7-2

A-5、已知心2,-4）,乔={一3,2,1},求点B的坐标。

令B的坐标为（兀』Z）,由AB={-3,2,1}得:

&

一1』一2忆+4}={-3,2，1},从而

x-1=-3,j-2=2,z+4=1,得点B的坐标为（一2,4,—3）。

_212

A-10、已知冇向线段片匚的长度为6,方向余弦分别为—,，点许的处标为（—3,2,5）,求点鬥。

333

是与片均同方向的单位向量,

由片匚的方向余弦组成的向量0={cosa,cos0,cosy}=

则&

+3』_2忆_5}={-4,2,4},可得点P2的坐标为（-7,4,9）。

A-11、已知两点刈2（3,0,2）,试计算MM的模、方向余弦和方向角。

M{M2={-1-V2,1}的模为M{M2=V（-1）2+（-a/2）2+『=2。

方向余弦分别为cosa=—^,COSyff=—^-,COS/=^o由于方向角的范围为［0,兀］,所以，方向角为乙乙乙

g竺0二竺』工

3"

4"

3

■JT

A・12、已知点P的向径OP为单位向最，且与z轴的夹角为一，另外两个方向角相等，求点P的坐标。

6

解得cosa=

—-jr3

设OP两个相等的方向角为a，则cos2—+2cos2a=—+2cos2a=l

64

伴,良回或［血血

OP={cosa,cos0,cos/}=|±

44

B-3>

试确定加与"

的值,使向量。

={-2,3/}与b={m,-6,2}平行。

tt_03n

allbo—=——=_,得m=4,n=—lo

m-62

P26—习题7-3

A-l>

已知4={3，—2厂5},b=（6,0,2}o求:

（1）

（2）a・a

（3）仏-久）©

+2》）

解:

（1）u*b—3x6+（—2）x04-（—5）x2=8

（2）

（3）

：

・：

=3x3+（-2）x（_2）+（_5）x（-5）=38

佑一@+2&

）={6-8-22}・{15-2-1}=6xl5+（-8）x（-2）+（-22）x（-1）=128。

A4设a=3i-j-2k,b=i+2j-k,求

（1）向量的模：

b:

（2）

（1）a=曲，+（_if+（_2尸=V14,b=^12+22+（—1）2=V6；

（2）c°

sGM』「3xl+（-l）x2+（_2）x（-l）_VH

714-76

A-6、设a=3,b=4,并且a丄〃，试求*+"

>

<

（:

一可。

ab

14

a+b）x\p-b）=cixa-axb+bxa-bxb=2bxct,

”+》）xb—可=2””|sin@a）=2x4x3xl=248、已知A（1,—1,2）,B（5,—6,2）,C（1,3,—1）,求

（1）同时与AB及AC垂直的单位向量；

（2）\ABC的而积；

（3）从顶点B到边AC的高的长度。

_ijk

（1）ABxAC=4-50=15i+12j+16Jl,ABxAC=V152+122+162=2504-3

所以同时垂直于AB.AC的单位向量为:

=±

-丄ABxACe=±

ABxAC

（2）S

2ABXAC

25

T

1

所以方=5o

—>

125

（3）从顶点B到边AC的高为方，则=-ACh=-x5xh=—

2

P34—习题7-4

A-3、求满足下列条件的平而的方程：

（1）平行于平面2x-8y+z-2=0fl.经过点（3,0-5）。

待求平血方程可设为2x-8y+z+D=0,代入点（3,0-5）得0=-1,所以平面方程为

2x-8j+z-l=0o

（2）过点（1,1,1）与点（0,1-1）且与平面x+j+z=0垂直。

设p（o,i-i）,e（i,i,i）,pe={iA2}.平I&

IX+j+z=o的法向量为可={1,1」},待求平面的

法向量〃同时垂直于向量PQ,nx,故，法向量〃可取为向量PQ,蚀的向量积，即

n=PQx^[={1,0,2}x{1,1,1}={-2,1,1},所以，平面方程为：

-2（x-l）+（j-l）+（z-l）=0,即2x-j-z=0o

（3）过点（1-5,1）点（3,2,-2）且平行于y轴。

设待求平面的法向量为二匚与由点P（l,-5,l）,Q（3,2,-2）构成的向量PQ={2,7-3}及丿轴上的单位向量兀二{0,1,0}同时垂直,故：

可取为西与斤的向量积,即n=Pgx^={3,0,2},

待求平面方程为:

3（兀_1）+0心+5）+2（z_l）=0,即3x+2z-5=0

（4）过点A（2,9,-6）冃.与向径亦垂直

向径OA={2,9,-6}可取为待求平面的法向量，故待求平而方程为：

2（x-2）+9（j-9）-6（z+6）=0,即2x+9j-6z-121=0o

A・5、设平面过点（5-7,4）且在三个坐标轴上截距相等，求这平面的方程。

设平面方程为-+^+-=1,将点（5-7,4）代入方程得：

。

=5-7+4=2,所以平面方程为:

aaa

j+z-2=0o

A・9、求平面x+j+z+l=（）与平面x-2j-z+3=0的夹角，并判别坐标原点到哪个平面的距离更近。

解：

两个平面的法向量分别为：

={1,1,1},={1-2-1}o贝U两平面的夹角余弦为：

¥

，所以两平面的夹角为

lxl+lx（-2）+lx（-l）|

JF+F+F・J]2+（_2）2+（_l）2

arccos——。

3

原点到第一个平而的距离为：

d{=X）+°

+°

+N=—o到第二个平面的距离为

Vl2+12+123

显然，原点到笫一个平面的距离更近。

0+0+0+3

少+（-2）2+（一1）广亍

P40—习题7・5

A-2-（l）求过点（0,2,4）且同时平行于平而x+2z=1与y—3z=2的直线方程。

该直线的方向向量7={1,0,2}x{0,1,-3}={-2,3,1},贝U直线的对称式方程为:

xy-2z-4

^2=3=^~

（2）求过点（2,0,1）且与直线:

:

二:

;

二裁）平行的直线的方程。

-7-28

肓线的方向向量5={2,-3,l}x{4-2,3}={-7-2,8},所以肓线方程为:

A・3、写出下列直线的对称式方程及参数方程:

（2）L_5；

+z_1=0

11-15

令J=0代入方程组得*忆=」，直线的方向向量

1115

xz+——

；

={3,—4,5}x{2-5,1}={21,7-7}=7（3,1-1}，所以对称式方程为:

—=y=—£

31—1

11a

x=3t

7

参数方程为：

=/o

B・2、求下列投影点的处标：

1）点（-1,2,0）在平面x+2j-z+l=0上的投影。

过点（-1,2,0）与平面x+2j-z+l=0垂直的直线I与平而的交点即是投影点，直线I的方向向量£

可

X=-1+Z

取为平血的法向量，即={1,2-1},故，直线2的参数方程为《y=2+2/。

为求直线与平面的交点，将

z=-t

_2

参数方程代入平面方程，可得：

（一1+”+2（2+2（）-（一（）+1=6（+4=0,得/=——。

再将

代入参数方程可得交点

（-522}

P47—习题7-6

A・l、求下列旋转曲血•的方程：

（1）将zo兀面上的抛物线才=5兀绕兀轴旋转一周。

y2+z2=5x

兀2V2

（2）将兀oy面上的椭圆—+V=1绕丿轴旋转一周。

94

⑷将xoy^上的直线j=2x+1绕兀轴旋转一•周。

土+才=2工+1,两边平方j2+z2=（2x+1）2o

笫八章习题

P57-习题8-1

A--4.求下列函数的定义域

（3）z=^4-x2-y2+

定义域为P={（x,j^4>

x2+j2>

1},这是以原点为圆心，半径分别为1和2的两个圆构成的圆环,不包括内环。

（5）z=ln（x2-j）+arccos（x2+y2）

定义域为D={（x,jJx2>

j,x2+j2<

1},这是开口向上的抛物线y=x2与半径为1的圆围成的图形的下面部分，不包括抛物线。

A-5、求下列函数的极限

（2）lim（兀+v）sin—

因为鳥嘛（宀）"

sin—<

1,故lim（x+j）sin—=0o巧z

（小4（0・0）

xy

（4）lim

G』A（o,o）xy

原式=（limb-歼取铲（x胪（0,0）xy（2+^Xy+4j

_|._卩_j.一1_一1

（x,J%o）号（2+Jxy+4）（x,J胃0,0）2+Jxy+44

A-7、设函数/（x,j）=<

x2+j2，X+'

定°

讨论函数/（x,j）在点（0,0）处的连续性。

0,x2+j2=0

*2-k2X21_fc2

lim/（x,j）=lim—一=——。

可见，R取不同的值时，即动点（工』）沿不同的路径趋近

rrx+kxi+k

y=kxy=kx

于（0,0）时，极限不同,故zlimf（x,y）不存在，所以函数f（x,y）在（0,0）处不连续。

（X』）T（O・O）

P66—习题8-2

A-1、求下列函数的偏导数

x—y

（6）z=arctan

x+j

dz=1（兀+丿）一（兀一丿）=2y=y

〃〔fx-vY（x+j）2"

（x+j）2+（x-j）2~x2+j2

1兀+丿丿

dz_1~（xy）-（x-y）_-2x_-x

血一]+（