江苏专版版高考数学大一轮复习第七章不等式第39讲不等关系与不等式学案理0518418Word文件下载.docx
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解析 由a+|b|<
0知a<
0,且|a|>
|b|,
当b≥0时,a+b<
0成立,
当b<
0时,a+b<
0成立,∴a+b<
答案 ④
4.如果a∈R,且a2+a<
0,则a,a2,-a,-a2的大小关系是________.
解析 由a2+a<
0得a<
-a2,
∴a<
0且a>
-1,∴a<
-a2<
a2<
-a.
答案 a<
-a
5.若0<
a<
b,且a+b=1,则将a,b,,2ab,a2+b2从小到大排列为________.
解析 ∵0<
b且a+b=1,
∴0<
<
b<
1,∴2b>
1且2a<
1,
2b·
a=2a(1-a)=-2a2+2a
=-2+<
.
即a<
2ab<
,
又a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>
1-=,
即a2+b2>
a2+b2-b=(1-b)2+b2-b=(2b-1)(b-1),
又2b-1>
0,b-1<
0,∴a2+b2-b<
0,
∴a2+b2<
b,
综上,a<
a2+b2<
b.
b
知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法(a,b∈R),
(2)作商法(a∈R,b>
0),
2.不等式的基本性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
a>
b⇔b<
a
⇔
传递性
b,b>
c⇒a>
c
⇒
可加性
b⇔a+c>
b+c
可乘性
⇒ac>
bc
⇒ac<
注意c的符号
同向可加性
⇒a+c>
b+d
同向同正可乘性
bd
可乘方性
0⇒an>
bn(n∈N,n≥1)
a,b同为正数
可开方性
(n∈N,n≥2)
3.不等式的一些常用性质
(1)倒数的性质
①a>
b,ab>
0⇒<
②a<
0<
b⇒<
③a>
0,0<
c<
d⇒>
④0<
x<
b或a<
(2)有关分数的性质
若a>
0,m>
0,则
①<
;
>
(b-m>
0).
②>
考点一 比较两个数(式)的大小
【例1】
(1)(一题多解)若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为________.
(2)(2018·
无锡期中)若<
0,给出下列四个不等式:
①a+b<
ab;
②|a|>
|b|;
③a<
b;
④+>
2中,其中正确的不等式是________(填序号).
解析
(1)法一 易知a,b,c都是正数,=
=log8164<
所以a>
==log6251024>
所以b>
c.即c<
a.
法二 对于函数y=f(x)=,y′=,
易知当x>
e时,函数f(x)单调递减.
因为e<
3<
4<
5,所以f(3)>
f(4)>
f(5),
即c<
(2)因为<
0,即<
0,且a<
0,b<
0,所以b<
0,ab>
0.经逐一分析,得①④正确.
答案
(1)c<
a
(2)①④
规律方法 比较大小的常用方法
(1)作差法:
一般步骤:
①作差;
②变形;
③定号;
④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差.
(2)作商法:
①作商;
③判断商与1的大小;
④结论.
(3)函数的单调性法:
将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出大小关系.
注意:
在综合题中遇到比较大小时要采用此法.
【训练1】
(1)设a,b∈[0,+∞),A=+,B=,则A,B的大小关系是________.
(2)若a=1816,b=1618,则a与b的大小关系为________.
解析
(1)∵A≥0,B≥0,
A2-B2=a+2+b-(a+b)
=2≥0,
∴A≥B.
(2)==
==,
∵∈(0,1),∴<
∵1816>
0,1618>
∴1816<
1618,即a<
答案
(1)A≥B
(2)a<
考点二 不等式的性质
【例2】
(1)已知a,b,c满足c<
a,且ac<
0,那么下列不等式中一定成立的是________(填序号).
①ab>
ac;
②c(b-a)<
③cb2<
ab2;
④ac(a-c)>
(2)设a,b为正实数.现有下列命题:
①若a2-b2=1,则a-b<
1;
②若-=1,则a-b<
③若|-|=1,则
|a-b|<
④若|a3-b3|=1,则|a-b|<
1.
其中的真命题有________(写出所有真命题的编号).
解析
(1)由c<
a且ac<
0知c<
由b>
c得ab>
ac一定成立.
(2)①中,a2-b2=(a+b)(a-b)=1,a,b为正实数,若a-b≥1,则必有a+b>
1,又a-b=,不合题意,故①正确.
②中,-==1,只需a-b=ab即可.如取a=2,b=满足上式,但a-b=>
1,故②错.
③中,a,b为正实数,所以+>
|-|=1,且|a-b|=|(+)(-)|=|+|>
1,故③错.
④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|(a2+ab+b2)=1.
若|a-b|≥1,不妨设a>
1,则必有a2+ab+b2>
1,不合题意,故④正确.
答案
(1)①
(2)①④
规律方法 解决此类问题常用两种方法:
一是直接使用不等式的性质逐个验证;
二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
【训练2】(一题多解)若a>
0>
-a,c<
d<
0,则下列结论:
①ad>
bc;
②+<
③a-c>
b-d;
④a(d-c)>
b(d-c)中成立的个数是________.
解析 法一 ∵a>
b,c<
∴ad<
0,bc>
bc,故①错误.
∵a>
-a,∴a>
-b>
∵c<
0,∴-c>
-d>
∴a(-c)>
(-b)(-d),
∴ac+bd<
0,∴+=<
0,故②正确.
d,∴-c>
-d,
b,∴a+(-c)>
b+(-d),
∴a-c>
b-d,故③正确.
b,d-c>
0,∴a(d-c)>
b(d-c),
故④正确.
法二 取特殊值.
答案 3
考点三 不等式性质的应用
【例3-1】(一题多解)已知a>
①a2>
b2;
②2a>
2b-1;
③>
-;
④a3+b3>
2a2b.
其中一定成立的不等式为________(填序号).
解析 法一 由a>
0可得a2>
b2,①成立;
由a>
0可得a>
b-1,而函数f(x)=2x在R上是增函数,
∴f(a)>
f(b-1),即2a>
2b-1,②成立;
0,∴>
∴()2-(-)2
=2-2b=2(-)>
∴>
-,③成立;
若a=3,b=2,则a3+b3=35,2a2b=36,
a3+b3<
2a2b,④不成立.
法二 令a=3,b=2,
可以得到①a2>
b2,②2a>
2b-1,③>
-均成立,而④a3+b3>
2a2b不成立.
答案 ①②③
【例3-2】已知-1<
4,2<
y<
3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.
解析 ∵-1<
3,∴-3<
-y<
-2,
∴-4<
x-y<
2.
由-1<
3,得-3<
3x<
12,4<
2y<
6,
∴1<
3x+2y<
18.
答案 (-4,2) (1,18)
规律方法
(1)判断不等式是否成立的方法
①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要利用不等式的性质.
②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识,比如对数函数、指数函数的性质等.
(2)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围.解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.
【训练3】
(1)若a<
0,则下列不等式一定成立的是________(填序号).
3>
②a2<
③<
④an>
bn.
(2)设a>
1,c<
0,给出下列三个结论:
①>
②ac<
bc;
③logb(a-c)>
loga(b-c).
其中所有正确结论的序号是________.
解析
(1)(特值法)取a=-2,b=-1,逐个检验,可知①,②,④均不正确;
③中,<
⇔|b|(|a|+1)<
|a|(|b|+1)
⇔|a||b|+|b|<
|a||b|+|a|⇔|b|<
|a|,
∵a<
0,∴|b|<
|a|成立.
(2)由不等式性质及a>
1知<
又c<
,①正确;
构造函数y=xc,
0,∴y=xc在(0,+∞)上是减函数,
又a>
1,∴ac<
bc,②正确;
0,∴a-c>
b-c>
∴logb(a-c)>
loga(a-c)>
loga(b-c),③正确.
答案
(1)③
(2)①②③
一、必做题
1.当x>1时,x3与x2-x+1的大小关系为________.
解析 ∵x3-(x2-x+1)
=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1).
又∵x>1,
故(x-1)(x2+1)>0,
∴x3-(x2-x+1)>0,
即x3>x2-x+1.
答案 x3>x2-x+1
2.(2018·
镇江模拟)若6<
10,≤b≤2a,c=a+b,那么c的取值范围是________.
解析 ∵c=a+b≤3a且c=a+b≥,
∴9<
≤a+b≤3a<
30.
答案 (9,30)
3.已知x>
y>
z,x+y+z=0,则下列不等式成立的是________(填序号).
①xy>
yz;
②xz>
yz;
③xy>
xz;
④x|y|>
z|y|.
解析 ∵x>
z且x+y+z=0,∴x>
0,z<
又y>
z,∴xy>
xz.
答案 ③
4.设a,b∈R,则“(a-b)·
0”是“a<
b”的________条件.
解析 由(a-b)·
0⇒a≠0且a<
b,∴充分性成立;
由a<
b⇒a-b<
0,当0=a<
b时⇒/(a-b)·
0,必要性不成立.
5.设α∈,β∈,那么2α-的取值范围是________.
解析 由题设得0<
2α<
π,0≤≤,
∴-≤-≤0,∴-<
2α-<
π.
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