九年级数学第7讲二次函数探究二次函数与图形面积的综合问题教案Word格式文档下载.docx
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知识讲解
探究图形面积的一般思路
要求三角形或四边形的面积的最大值或是最小值,解决这类问题的基本步骤:
(1)首先要确定所求三角形或四边形面积最值,可设动点运动个时间t或动点的坐标(t,at2+bt+c)
(2)①求三角形面积最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高,此时就先证明涉及到底和高的三角形与已知线段长度的三角形相似,从而求得用含t的代数式表示底和高;
②求四边形的面积最值时,常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形,从而利用三角形的方法求得用含t的代数式表示的线段;
(3)用含有未知数的代数式表示出图形的面积;
(4)用二次函数的知识来求最大值或是最小值。
例题精析
例1如图,△ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?
此时四边形PDCQ的面积是多少?
例2如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;
此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
例3如图,矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为(0,8),点C的坐标为(6,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,与AB边交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合),点Q为线段AC上一个动点,AQ=CP,连接PQ,设CP=m,
△CPQ的面积为S.
①求S关于m的函数表达式,并求出m为何值时,S取得最大值;
②当S最大时,在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴l上若存在点F,使△FDQ为直角三角形,请直接写出所有符合条件的F的坐标;
若不存在,请说明理由.
例4如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧),与y轴的交点为C.
(1)直接写出A、D、C三点的坐标;
(2)若点M在抛物线上,使得△MAD的面积与△CAD的面积相等,求点M的坐标;
(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B,在抛物线上是否存在点P,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形?
若存在,请求出点P的坐标;
课程小结
有针对性的对勾股定理、相似三角形的性质及二次函数的基础知识进行复习,有助于为研究二次函数与图形面积的综合问题提供有利的依据。
在探究二次函数与图形面积的综合问题时,抓住已有的信息及条件用所设未知数来表示出图形的面积,并能运用二次函数的最值来解决问题,掌握此类问题的解题思路及技巧是解决问题的关键。
例1【规范解答】
(1)由,得A(0,3),C(4,0).由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.
因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).将B(-4,0)、D(8,3)分别代入,得
解得,c=-3.所以该二次函数的解析式为.
(2)①设点P、Q运动的时间为t.
如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO=.
当PQ⊥AC时,.所以.解得.
图2图3
②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.
由于S△APQ=,
S△ACD=,
所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ=.
所以当AP=时,四边形PDCQ的最小值是.
【总结与反思】
1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.
2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.
3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.
例2【规范解答】
(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).所以AB=9,OC=9.
(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.
所以.而,AE=m,所以.
m的取值范围是0<m<9.
(3)如图2,因为DE//CB,所以.
因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.
所以.
当时,△CDE的面积最大,最大值为.
此时E是AB的中点,.
如图3,作EH⊥CB,垂足为H.
在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.
在Rt△BEH中,.
当⊙E与BC相切时,.所以.
1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.
2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.
例3
【规范解答】
(1)将A、C两点坐标代入抛物线c=8,,
解得b=,c=8,∴抛物线的解析式为
(2)①∵OA=8,OC=6∴过点Q作QE⊥BC与E点,则
∴∴∴
∴当m=5时,S取最大值;
②在抛物线对称轴l上存在点F,使△FDQ为直角三角形,∵抛物线的解析式为的对称轴为,
D的坐标为(3,8),Q(3,4),
当∠FDQ=90°
时,F1(,8),当∠FQD=90°
时,则F2(,4),
当∠DFQ=90°
时,设F(,n),则FD2+FQ2=DQ2,即,解得:
,
∴F3(,),F4(,),
满足条件的点F共有四个,坐标分别为
F1(,8),F2(,4),F3(,),F4(,).
1.将A、C两点坐标代入抛物线即可求得抛物线的解析式;
2.①先用m表示出QE的长度,进而求出三角形的面积S关于m的函数,化简为顶点式,便可求出S的最大值;
②直接写出满足条件的F点的坐标即可,注意不要漏写.
例4【规范解答】解:
(1)∵y=x2﹣x﹣3,∴当y=0时,x2﹣x﹣3=0,解得x1=﹣2,x2=4.
当x=0,y=﹣3.∴A点坐标为(4,0),D点坐标为(﹣2,0),C点坐标为(0,﹣3);
(2)∵y=x2﹣x﹣3,∴对称轴为直线x==1.∵AD在x轴上,点M在抛物线上,
∴当△MAD的面积与△CAD的面积相等时,分两种情况:
①点M在x轴下方时,根据抛物线的对称性,可知点M与点C关于直线x=1对称,
∵C点坐标为(0,﹣3),∴M点坐标为(2,﹣3);
②点M在x轴上方时,根据三角形的等面积法,可知M点到x轴的距离等于点C到x轴的距离3.
当y=4时,x2﹣x﹣3=3,解得x1=1+,x2=1﹣,∴M点坐标为(1+,3)或(1﹣,3).
综上所述,所求M点坐标为(2,﹣3)或(1+,3)或(1﹣,3);
(3)结论:
存在.
如图所示,在抛物线上有两个点P满足题意:
①若BC∥AP1,此时梯形为ABCP1.
由点C关于抛物线对称轴的对称点为B,可知BC∥x轴,则P1与D点重合,∴P1(﹣2,0).
∵P1A=6,BC=2,∴P1A≠BC,∴四边形ABCP1为梯形;
②若AB∥CP2,此时梯形为ABCP2.
∵A点坐标为(4,0),B点坐标为(2,﹣3),∴直线AB的解析式为y=x﹣6,∴可设直线CP2的解析式为y=x+n,
将C点坐标(0,﹣3)代入,得b=﹣3,∴直线CP2的解析式为y=x﹣3.∵点P2在抛物线y=x2﹣x﹣3上,
∴x2﹣x﹣3=x﹣3,化简得:
x2﹣6x=0,解得x1=0(舍去),x2=6,
∴点P2横坐标为6,代入直线CP2解析式求得纵坐标为6,∴P2(6,6).
∵AB∥CP2,AB≠CP2,∴四边形ABCP2为梯形.
综上所述,在抛物线上存在一点P,使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形;
点P的坐标为(﹣2,0)或(6,6).
1.令y=0,解方程x2﹣x﹣3=0可得到A点和D点坐标;
令x=0,求出y=﹣3,可确定C点坐标;
2.根据抛物线的对称性,可知在在x轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点;
再根据三角形的等面积法,在x轴上方,存在两个点,这两个点分别到x轴的距离等于点C到x轴的距离;
3.根据梯形定义确定点P,如图所示:
①若BC∥AP1,确定梯形ABCP1.此时P1与D点重合,即可求得点P1的坐标;
②若AB∥CP2,确定梯形ABCP2.先求出直线CP2的解析式,再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标.
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