分块矩阵的性质及应用Word格式文档下载.docx
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Thenatureandtheapplicationofblockmatrix
StudentmajoringinMathematicsandAppliedMathematicsHuangMing
TutorGaoDongjie
Abstract:
Blockmatrixinalgebraisabasictool,withtheimportantandwidelyusedinthesolveingproblemsofHigherAlgebra,fromthenatureoftheBlockmatrix,includingtheproblemofmatrixinversion,theproblemofDeterminant,theproblemofproveinginequalityoftherankoftheMatrixandsolvingNon-homogeneouslinearequations,playedaroleinsimplifyingtoresolvetheissue.
Keywords:
BlockMatrixInversematrixDeterminantRank
Non-homogeneouslinearequations
引言矩阵在高等代数中是一个很重要的内容,它贯穿于高等数学的很多分支,在关于矩阵的某些问题中,对于一些阶数较高的矩阵,常采用对其进行分块的方法,即将一个矩阵分割成若干的小矩阵,在运算过程中将每个小矩阵看做元素来处理,使得矩阵的结构更清楚,对问题的解决往往起到简化的作用,从而使大量问题迎刃而解,易于理解和掌握,而且可以开拓思维,提高灵活应用知识解决问题的能力.
1分块矩阵
1.1定义
分块矩阵是指把一个大矩阵分割成若干“矩阵的矩阵”.把mn矩阵分为如下形式的矩阵:
1
⎛A11A=Ai1
A⎝ri
A1jAijArj
A1s⎫⎪⎪Ais⎪.⎪⎪Ars⎪⎭
r
其中Aij是mi⨯nj矩阵(i=1,,r,j=1,,s)称为A的子矩阵,且∑mi=m,∑nj=n.
i=1
s
j=1
⎛A1j⎫
⎪
而等号右边的矩阵叫做A的一个分块矩阵,并且把(Ai1,,Ais)与⎪分
A⎪⎝rj⎭
别叫做分块矩阵的第i行与第j列.1.2常用分块方法
⎛β1⎫
⎪β2⎪分块形式为A=,其中βi(i=1,2,,n)为A的行向量.⎪⎪⎝βn⎭
⎛B1⎫分块形式为A=(A1,A2),其中A1,或A=⎪,其中B1,A2分别为A的若干列,
⎝B2⎭
⎛C1
分块形式为A=
⎝C3
C2⎫
⎪,其中C1与C2,C3与C4有相同的行数,C1与C4⎭
2
较多,应用时,尽量地让分出的小矩阵出现单位矩阵或零矩阵,这样可以位运算带来方便.
1.3分块矩阵的运算
设A,B都是s⨯n矩阵,若对他们做相同的划分,则把各小矩阵看成数,按数的矩阵求和规则相加,就是说,
A1t⎫⎛B11B12B1t⎫⎛A11A12⎪⎪AAABBB21222t⎪21222t⎪A+B=+⎪⎪⎪⎪AAABBBu2ut⎭⎝u1u2ut⎭⎝u1
⎛A11+B11A21+B21=⎝Au1+Bu1A12+B12A22+B22Au2+Bu2A1t+B1t⎫⎪A2t+B2t⎪.⎪⎪Aut+But⎭
求分块矩阵的数乘时,可以把小矩阵看作数,按数的数乘规则进行,就是说,
A1t⎫⎛kA11kA12kA1t⎫⎛A11A12⎪⎪AAAkAkAkA21222t⎪21222t⎪kA=k=.⎪⎪⎪⎪AAAkAkAkAu2ut⎭⎝u1u2ut⎭⎝u1
设A如上,则
'
A12A1'
t⎫⎛A11'
t⎪AAA21222⎪.A'
=⎪⎪'
AAAu2ut⎭⎝u1
就是说先把小矩阵看成是数进行转置,然后再分别对各个小矩阵求转置.
设A是s⨯n矩阵,B是n⨯m矩阵,若A的列的划分与B的行的划分相同(即A的列分成n1,n2,,nt,B的行也分为n1,n2,,nt,则A乘B可以按数字矩阵的乘法规则进行,就是说,
3
A1t⎫⎛A11A12⎪AAA21222t⎪AB=⎪⎪AAAu2ut⎭⎝u1B1t⎫⎛B11B12⎪BBB21222t⎪⎪⎪BBBu2ut⎭⎝u1
C1t⎫⎛C11C12⎪CCC21222t⎪.=⎪⎪CCCu2ut⎭⎝u1
其中Cij=Ai1B1j+Ai2B2j++AitBtj,i=1,2,u,j=1,2,r.
关于分块矩阵的乘法需要注意的是:
(1)两个小块矩阵相乘时必须遵循左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数这
一原则.
(2)两个小块矩阵相乘不能交换次序,要分清哪个在左哪个在右.
1.4分块矩阵的初等变换
将分块乘法与初等变换结合就成为矩阵运算中极端重要的手段,是代数学中重要且基本的运算.为了方便起见,我们以常用的2⨯2分块矩阵为例,现将某个单位矩阵如下进行分块:
⎛Em⎝00⎫⎪.En⎭
对它进行两行(列)对换;
某一行(列)左乘(右乘)一个矩阵P;
一行(列)加上另一行(列)的P(矩阵)倍数,就可以得到如下类型的一些矩阵:
⎛0⎝EmEn⎫⎛P0⎫⎛Em⎪,⎪,0⎭0En⎭⎝0⎝0⎫⎛Em⎪,P⎭⎝00⎫⎛Em⎪,En⎭⎝P0⎫⎪.En⎭
⎛AB⎫和初等矩阵与初等变换的关系一样,用这些矩阵左乘任一个分块矩阵⎪,
⎝CD⎭
只要分块乘法能够进行,其结果就是对它进行相应的变换,可归为以下三种:
⎛0⎝EmEn⎫⎛AB⎫⎛CD⎫;
⎪⎪=⎪(交换分块矩阵的某两行)0⎭CDAB⎝⎭⎝⎭
⎛P0⎫⎛AB⎫⎛PAPB⎫;
⎪⎪=⎪(用一个可逆矩阵左乘某一行)
⎝0En⎭⎝CD⎭⎝CD⎭
4
⎛AB⎫⎛Em⎪PCD⎝⎭⎝0⎫⎛AB⎫
=(用一可逆矩阵左乘某一行加到另一行).⎪⎪En⎭⎝C+PAD+PB⎭
分别称上述三种初等行变换为分块矩阵的初等行变换.
同样,用它们右乘任一矩阵,进行分块乘法时也有相应的结果,这种分块矩阵的初等变换成为矩阵的广义初等变换.
在此过程中需要注意的是,对一个矩阵进行初等变换后不改变该矩阵的秩.
2分块矩阵的应用
2.1利用分块矩阵求矩阵的逆
求矩阵的逆矩阵可以用伴随矩阵或初等变换的方法来解决,但此类方法对于阶数较高的矩阵运算量较大.对这些矩阵可以适当分块后再进行运算,可起到事半功倍的作用.
⎛AB⎫-1
例1给定数域K上的n阶四分块矩阵M=⎪,当D与(A-BDC)都可逆时,
⎝CD⎭则M是可逆矩阵,且M
-1
⎛(A-BD-1C)-1=-1-1-1⎝-DC(A-BDC)⎫.-1-1-1-1-1⎪DC(A-BDC)BD+D⎭
-(A-BD-1C)-1BD-1
⎛A-1
特例:
(1)B=0,C=0,A,D都可逆时,有M=
⎝0
0⎫⎪;
D-1⎭
⎛0C-1⎫
(2)A=0,D=0,B,C都可逆时,有M=-1⎪;
0⎭⎝B⎛A-1
(3)B=0,C≠0,A,D都可逆时,有M=-1-1
⎝-DCA
-1-1
⎛A-1-A-1BD-1⎫
(4)B≠0,C=0,A,D都可逆时,有M=⎪.-1
D⎝0⎭⎛XY⎫-1
证明:
设M可逆,且M-1=⎪,则由逆矩阵的性质有MM=E,
⎝ZW⎭⎛XA+YCXB+YD⎫⎛E
即⎪=
ZA+WCZB+WD⎝⎭⎝0
0⎫
⎪.E⎭
5
⎧XA+YC=E⎪XB+YD=0⎪
于是有⎨,
⎪ZA+WC=0⎪⎩ZB+WD=E可解得
⎛XY⎫⎛(A-BD-1C)-1
M=⎪=-1-1-1
⎝ZW⎭⎝-DC(A-BDC)
-1⎫.-1-1-1-1-1⎪DC(A-BDC)BD+D⎭
⎛A1
形如
⎝
A2
⎫⎪
⎪的矩阵,其中Ai是nixni的矩阵(i=1,2,,l)通常被称⎪⎪Al⎭
为准对角矩阵,其中对角矩阵是准对角矩阵的特殊情况,对于这类高阶分块矩阵,可以用继续分块的方法求逆矩阵,若A1,A2,,Al都可逆,按照特例
(1)的情况可得:
⎛A1⎝
⎫⎛A1⎪⎪=⎪⎪Al⎭
⎛A2⎝
⎫⎛A1-1⎪-1
⎫⎪=⎪⎪⎪⎪
⎪Al⎪⎭⎭⎝
A2-1
⎫
⎪⎪.⎪⎪Al-1⎭
同理由特例
(2)有
⎛
⎝Al
A1⎫⎛⎪-1
Al-1⎪=
⎪⎪-1⎭⎝A1
Al-1⎫
⎪⎪.⎪⎪⎪⎭
⎛11
例2已知矩阵M=
3⎝2
12750021
0⎫⎪0⎪
,求M-1.3⎪⎪2⎭
⎛AB⎫⎛11⎫⎛37⎫⎛23⎫
解:
可以将矩阵分成四块M=,其中A=,C=,D=⎪⎪⎪⎪,根据
CD122512⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭分块矩阵的性质,M
⎛A-1=-1-1⎝-DCA0⎫
而A,C,D的逆矩阵易求出,-1⎪D⎭
6
-7⎫-3⎫1⎫⎛2-1⎫-1⎛2-1⎛5-1-1⎛-1A-1=DC-DCA,=,=,而=⎪⎪⎪,所以⎪⎝-23⎭⎝-12⎭⎝1-2⎭⎝-11⎭
⎛2-100⎫⎪-1100⎪.M-1=-112-3⎪⎪1-2-12⎝⎭
⎛00[2]例3已知矩阵M=2⎝1005321001⎫⎪1⎪,求M-1.0⎪⎪0⎭
A⎫⎪,A=0⎭⎛21⎫⎛25⎫,B=⎪⎪,易求得,
⎝11⎭⎝13⎭
1的推广⎛0解:
可以将
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- 分块 矩阵 性质 应用