通用版版高考数学一轮复习不等式选讲1第1讲绝对值不等式教案理文档格式.docx
- 文档编号:15050906
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:13
- 大小:189.82KB
通用版版高考数学一轮复习不等式选讲1第1讲绝对值不等式教案理文档格式.docx
《通用版版高考数学一轮复习不等式选讲1第1讲绝对值不等式教案理文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《通用版版高考数学一轮复习不等式选讲1第1讲绝对值不等式教案理文档格式.docx(13页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
|α|·
|β|≥|α·
β|.
(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
(3)+≥.
(此不等式通常称为平面三角不等式)
会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形:
会用向量递归方法讨论排序不等式.
1.绝对值三角不等式
定理1:
如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:
如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|<
a与|x|>
a的解集
不等式
a>
a=0
a<
|x|<
a
{x|-a<
x<
a}
∅
|x|>
{x|x>
a或x<
-a}
{x|x∈R且x≠0}
R
(2)|ax+b|≤c(c>
0)和|ax+b|≥c(c>
0)型不等式的解法
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
3.|x-a|+|x-b|≥c(c>
0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>
法一:
利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想.
法二:
利用“零点分区法”求解,体现了分类讨论的思想.
法三:
通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.
解不等式:
|x-2|+|x+3|>
7.
解:
因为|x-2|+|x+3|
=
所以原不等式可化为
或或
解上述不等式组得所求不等式的解集为{x|x<
-4或x>
3}.
不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.
由不等式的性质得|x+3|-|x-1|=|x+3|-|1-x|≤|(x+3)+(1-x)|=4
所以a2-3a≥4,解得a≥4或a≤-1.
对于实数x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,求|x-2y+1|的最大值.
由|x-1|≤1与|y-2|≤1,可知不等式构成的区域为四条直线x=0,x=2,y=1,y=3围成的一个矩形区域,而|x-2y+1|的最大值即为x-2y+1的最大值或最小值对应的绝对值,为此可转化为求x-2y+1的最值.
记u=x-2y+1,即y=x+(1-u),由数形结合易知,当直线经过不等式值域的区域内的点(2,1)与(0,3)时,y对应有最小值与最大值,此时对应的u值为1与-5,故|x-2y+1|的最大值为5.
(2018·
长沙市统一模拟考试)已知f(x)=|x-a|+|x-3|.
(1)当a=1时,求f(x)的最小值;
(2)若不等式f(x)≤3的解集非空,求a的取值范围.
(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+|x-3|≥|(x-1)-(x-3)|=2,
故f(x)的最小值为2,当且仅当1≤x≤3时取得最小值.
(2)f(x)=|x-a|+|x-3|≥|(x-a)-(x-3)|=|3-a|,若不等式f(x)≤3的解集非空,
则|3-a|≤3,
即-3≤3-a≤3,
因此0≤a≤6,
所以a的取值范围是[0,6].
含绝对值不等式的解法
[典例引领]
设函数f(x)=|x-a|.
(1)当a=2时,解不等式f(x)≥7-|x-1|;
(2)若f(x)≤1的解集为[0,2],求a的值.
【解】
(1)当a=2时,不等式为|x-2|+|x-1|≥7,
所以或
或,
所以不等式的解集为(-∞,-2]∪[5,+∞).
(2)f(x)≤1即|x-a|≤1,解得a-1≤x≤a+1,
而f(x)≤1的解集是[0,2],
所以,解得a=1.
[通关练习]
1.解不等式|x+3|-|2x-1|<
+1.
(1)当x<
-3时,原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<
+1,解得x<
10,所以x<
-3.
(2)当-3≤x<
时,原不等式化为(x+3)-(1-2x)<
-,
所以-3≤x<
-.
(3)当x≥时,原不等式化为(x+3)-(2x-1)<
+1,解得x>
2,所以x>
2.
综上可知,原不等式的解集为.
2.(2016·
高考全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
(1)f(x)=
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5,
故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};
f(x)<-1的解集为.
所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.
绝对值不等式性质的应用
设不等式|x-2|<
a(a∈N*)的解集为A,且∈A,∉A.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.
【解】
(1)因为∈A,且∉A,
所以<
a,且≥a,
解得<
a≤,
又因为a∈N*,所以a=1.
(2)因为f(x)=|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3.
当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,
所以f(x)的最小值为3.
两数和与差的绝对值不等式的性质
(1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±
b|≤|a|+|b|中等号成立的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时.
(2)该定理可强化为||a|-|b||≤|a±
b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.
已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,求证:
|x+5y|≤1.
证明:
因为|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
所以由绝对值不等式的性质,得|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|=3|x+y|+2|x-y|≤3×
+2×
=1.即|x+5y|≤1.
绝对值不等式的综合应用
(2017·
高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
【解】
(1)f(x)=
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1得,2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-+≤,
且当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.
故m的取值范围为.
(1)研究含有绝对值的函数问题时,根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后数形结合解决是常用的思维方法.
(2)对于求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便.形如y=|x-a|+|x-b|的函数只有最小值,形如y=|x-a|-|x-b|的函数既有最大值又有最小值.
(2018·
河南郑州模拟)已知函数f(x)=|2x+1|,g(x)=|x|+a.
(1)当a=0时,解不等式f(x)≥g(x);
(2)若存在x∈R,使得f(x)≤g(x)成立,求实数a的取值范围.
(1)当a=0时,由f(x)≥g(x)得|2x+1|≥|x|,两边平方整理得3x2+4x+1≥0,解得x≤-1或x≥-,
所以原不等式的解集为(-∞,-1]∪.
(2)由f(x)≤g(x)得a≥|2x+1|-|x|,令h(x)=|2x+1|-|x|,则h(x)=
故h(x)min=h=-,
所以实数a的取值范围为a≥-.
绝对值不等式的三种常用解法:
零点分段法,数形结合法,构造函数法.
不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
可以利用绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±
b|≤|a|+|b|求函数最值,要注意其中等号成立的条件.
1.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].
(1)求m+n的值;
(2)若|x-a|<
m,求证:
|a|+1.
(1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,解得1≤x≤2,所以m=1,n=2,m+n=3.
(2)证明:
若|x-a|<
1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<
|a|+1.即|x|<
2.已知函数f(x)=|x+1|-|x|+a.
(1)若a=0,求不等式f(x)≥0的解集;
(2)若方程f(x)=x有三个不同的解,求实数a的取值范围.
(1)当a=0时,f(x)=|x+1|-|x|
所以当x<
-1时,f(x)=-1<
0,不合题意;
当-1≤x<
0时,f(x)=2x+1≥0,解得-≤x<
0;
当x≥0时,f(x)=1>
0,符合题意.
综上可得f(x)≥0的解集为.
(2)设u(x)=|x+1|-|x|,y=u(x)的图象和y=x的图象如图所示.
易知y=u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位),与y=x的图象始终有3个交点,从而-1<
0.所以实数a的取值范围为(-1,0).
3.(2018·
兰州市诊断考试)已知函数f(x)=的定义域为R.
(1)求m的取值范围;
(2)若m的最大值为n,解关于x的不等式:
|x-3|-2x≤2n-4.
(1)因为函数f(x)的定义域为R,所以|x+1|+|x-3|-m≥0恒成立.
设函数g(x)=|x+1|+|x-3|,则m不大于函数g(x)的最小值,又|x+1|+|x-3|≥|(x+1)-(x-3)|=4,即g(x)的最小值为4.
所以m≤4.
(2)当m取最大值4时,原不等式等价于|x-3|-2x≤4,
所以或,
解得x≥3或-≤x<
3.
所以原不等式的解集为.
4.(2018·
云南省第一次统一检测)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|的定义域为实数集R.
(1)当a=5时,解关于x的不等式f(x)>
9;
(2)设关于x的不等式f(x)≤|x-4|的解集为A,B={x∈R||2x-1|≤3},如果A∪B=A,求实数a的取值范围.
(1)当a=5时,f(x)=|x+5|+|x-2|.
①当x≥2时,由f(x)>
9,得2x+3>
9,解得x>
3;
②当-5≤x<
2时,由f(x)>
9,得7>
9,此时不等式无解;
③当x<
-5时,由f(x)>
9,得-2x-3>
9,解得x
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 通用版 高考 数学 一轮 复习 不等式 绝对值 教案