利用加减法判断函数的奇偶性2Word文件下载.docx
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其中M是与x无关的正常数,则称f(x)在该区间内为有界函数。
例如:
函数y=sinx在(-∞,+∞)内是有界的,因|sinx|≤1,当x取任意实数时都成立;
这里M=1。
2、函数的单调性
一般地,设函数f(x)的定义域为I
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是严格增函数。
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是严格减函数。
如果函数f(x)在某个区间上总是严格增(或严格减)函数,则称f(x)在这个区间上是单调的,这个区间称为f(x)的单调区间。
3、函数的周期性
对于函数y=f(x),如果存在一个不等于零的常数T,使得当x取定义域内的任意值时,都有f(x+T)=f(x)成立,则函数y=f(x)叫做周期函数。
常数T≠0,叫做这个函数的周期;
如果在所有周期中存在一个最小正数,这个最小正数叫做最小正周期。
y=sinx是周期函数,2kπ(k∈z,k≠0)是它的周期,最小正周期是2π。
4、函数的奇偶性
(一)关于函数奇偶性的定义:
一般地,对于函数y=f(x)
(i)如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数;
奇函数的图象关于原点对称。
(ii)如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数y=f(x)就叫做偶函数;
偶函数的图象关于轴对称。
图1图2
x
-3
-2
-1
1
2
3
Y=|x|
Y=X2
9
4
表1表2
可以看到两个函数的图像都关于y轴对称;
从函数值对应表可以看到,当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相同。
对于函数f(x)=x2,有f(-3)=9=f(3),f(-2)=4=f
(2),
f(-1)=1=f
(1);
事实上,对于R内任意的一个x,都有
f(-x)=(-x)2=x2=f(x);
此时,称函数y=x2为偶函数。
图3图4
f(x)=
-
f(x)=x
表3表4
由上图可以看到两个函数的图像都关于原点对称。
函数图像的这个特征反映在解析式上就是:
当自变量x取一对相反数时,相应的函数值f(x)也是一对相反数,即对任一x∈R都有f(-x)=
-f(x);
此时,称函数y=f(x)为奇函数。
上述定义可等价地叙述为:
对于函数的定义域内任意一个:
(a)是偶函数;
(b)是奇函数;
理解定义是应用概念的前提,所以应注意认识以下两点:
(Ⅰ)、定义中要求对于函数的定义域内任意一个x,都有“”成立,可见必有意义,即也属于的定义域,即自变量的取值要保持任意性。
于是有奇(偶)函数的定义域是一个对称数集(在数轴上表示为关于原点对称的点集)。
也就是说:
函数定义域是否关于原点对称是判断一个函数奇偶性的前提条件,若函数定义域关于原点不对称,则函数一定不是奇函数,也一定不是偶函数;
所以说,函数的定义域关于原点对称是函数为奇(偶)函数的必要不充分条件。
(Ⅱ)、定义中的等式(或)是定义域上的恒等式,而不是对部分成立。
(二)函数奇偶性的几个性质
①、对称性:
奇(偶)函数的定义域关于原点对称;
②、整体性:
奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个都必须成立;
③、可逆性:
是偶函数;
是奇函数;
④、等价性:
;
;
⑤、奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于轴对称;
⑥、可分性:
根据函数奇偶性可将函数分类为三类:
奇函数、偶函数、非奇非偶函数;
(三)函数奇偶性的判断
由前面可知,函数奇偶性的因素有两个:
定义域的对称性和数量关系。
判断函数奇偶性就是判断函数是否为奇函数、偶函数、非奇非偶函数等三种情况;
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法:
第一种方法:
利用奇、偶函数的定义;
主要考查是否与、相等,判断步骤如下:
①、定义域是否关于原点对称;
②、数量关系哪个成立;
(①、②分别是函数具有奇偶性的两个必要条件,若两个条件同时成立,联袂作用,使成为充要条件。
)具体步骤如下:
若定义域不对称,则为非奇非偶函数;
若定义域对称,则有成为奇(偶)函数的可能;
到底怎样?
取决于数量关系怎样成立?
若成立,则为偶函数;
若成立,则为奇函数。
第二种方法:
图象法
[例1]判定下列函数的奇偶性
(1)
(2)
解:
(1)定义域为R,关于原点对称,当x>
0时,-x<
0,则
当x=0时,f(-x)=0=-f(x)
当x<
0时,-x>
则
故f(-x)=-f(x),所以f(x)是R上的奇函数
(2)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称
当时,,则
当时,,
综上f(-x)=-f(x),故f(x)是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数
另法利用图象
[例2]判断函数的奇偶性
的定义域是,当时,有
…………………………………①
…………②
且
为非奇非偶函数,由①②而断言且太草率了,事实上
为奇函数
这个错误的做法,告诉我们,当的表达式较为复杂且不易化简时,直接判断并不容易,如果的定义域是对称数集,用定义判断较难不易化简时,可等价地验证或当时,验证是否成立即可。
在三角函数中更能体现前面所提到的两点。
判断的奇偶性有两条途径。
(1)化简得到后知其为奇函数;
(2)时,易得,从而为奇函数;
第三种方法:
利用一些已知函数的奇偶性及下列准则(前提条件为两
个函数的定义域交集不为空集):
两个奇函数的代数和是奇函数;
两
个偶函数的代数和是偶函数;
奇函数与偶函数的代数和既不非奇函数
也非偶函数;
两个奇函数的积为偶函数;
两个偶函数的积为偶函数;
奇函数与偶函数的积是奇函数。
根据函数奇偶性定义易证:
设f(x)是定义在R上的任一函数,则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数;
F(x)=f(x)-f(-x)是奇函数;
这个结论给出了判断函奇偶性的一种新方法,即对于定义域中的
任一x,
若函数F(x)能表示成F(x)=f(x)+f(-x),则F(x)是偶函数;
若函数F(x)能表示成F(x)=f(x)-f(-x),则F(x)是奇函数;
利用这种方法判断函数的奇偶性,关键在于能否将已知函数F(x)分裂成f(x)±
f(-x)的形式。
这种分裂虽然技巧性较强,但对判定一类复合函数却常常较为简便,因此这种方法具有一定的实用性。
(1)设在定义域D中,函数f(x)和g(x)均为奇函数,则它们的和函数是奇函数;
证明如下:
令F(x)=f(x)+g(x)
因为F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
所以F(x)=f(x)+g(x)为奇函数
例如:
y=sinx+x3是奇函数。
(2)设在定义域D中,函数f(x)和g(x)均为偶函数,则他们的和函数是偶函数;
证明如下:
因为F(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=F(x)
所以F(x)=f(x)+g(x)为偶函数
y=cosx+x2是偶函数。
(3)设在定义域D中,函数f(x)和g(x)分别为奇函数和偶函数,则它们的和函数是非奇非偶函数;
因为F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+g(x)
显然-f(x)+g(x)≠f(x)+g(x)
且-[f(x)-g(x)]≠-[f(x)+g(x)]
所以F(x)=f(x)+g(x)为非奇非偶函数
y=sinx+cosx是非奇非偶函数。
注:
上述g(x)≠0(因为0函数既是奇函数又是偶函数)。
综上能总结出以下的奇偶性运算:
(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数;
(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数;
(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数;
(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数;
(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数;
(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数;
以上的总结也可以表示为:
奇±
奇=奇偶±
偶=偶奇×
奇=偶偶×
偶=奇
(两函数定义域要关于原点对称)
至于复合函数其实只要掌握好奇偶函数的定义,自己推一下
是非常容易的。
设在定义域D中,函数y=f(x)是奇函数,y=g(x)是偶函数,则
(1)F(x)=f[f(x)]是奇函数,
因为F(-x)=f[f(-x)]=f[-f(x)]=-f[f(x)]=-F(x)
(2)F(x)=g[g(x)]是偶函数,
因为F(-x)=g[g(-x)]=g[g(x)]=F(x)
(3)F(x)=g[f(x)]是偶函数,
因为F(-x)=g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)]=F(x)
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