高考数学考点练习第二章函数导数及其应用13函数模型及其应用试题文文档格式.docx
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4.2003年至2015年某市电影放映场次(单位:
万次)的情况如图所示,下列函数模型中,最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是( )
A.f(x)=ax2+bx+cB.f(x)=aex+b
C.f(x)=eax+bD.f(x)=alnx+b
解析 由题可得,这13年间电影放映场次逐年变化的规律是随着x的增大,f(x)逐渐增大,图象逐渐上升.对于A,f(x)=ax2+bx+c,取a>
0,-<
0,可得满足条件的函数;
对于B,取a>
0,b>
对于C,取a>
对于D,a>
0时,为“上凸函数”,不符合图象的特征,当a<
0时,为单调递减函数,不符合图象的特征,当a=0时,显然不满足.故选D.
5.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )
A.f(x)>
g(x)>
h(x)B.g(x)>
f(x)>
h(x)
C.g(x)>
h(x)>
f(x)D.f(x)>
g(x)
答案 B
解析 画出三个函数的图象,如下图所示,当x∈(4,+∞)时,指数函数的图象位于二次函数的图象的上方,二次函数的图象位于对数函数图象的上方,故g(x)>
h(x).
6.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是( )
A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元
解析 甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷
6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×
2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷
4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×
2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.
7.在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是( )
A.y=2x-2B.y=(x2-1)
C.y=log3xD.y=2x-2
解析 把表格中的数据代入选择项的解析式中,易得最接近的一个函数是y=(x2-1).
8.某工厂6年来生产某种产品的情况是:
前3年年产量的增长速度越来越快,后3年的年产量的增长速度保持不变,将该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(年)的函数关系用图象表示,则正确的是( )
答案 A
解析 因为前3年年产量的增长速度越来越快,可知图象的斜率随x的变大而变大,在图象上呈现下凹的情形;
又因为后3年年产量的增长速度保持不变,可知图象的斜率不变,呈直线型变化.故选A.
9.李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店,其月利润(单位:
元)分别为L甲=-5x2+900x-16000,L乙=300x-2000(其中x为销售辆数),若某月两连锁店共销售了110辆,则能获得的最大利润为( )
A.11000元B.22000元C.33000元D.40000元
解析 设甲连锁店销售x辆,则乙连锁店销售(110-x)辆,故利润L=-5x2+900x-16000+300(110-x)-2000=-5x2+600x+15000=-5(x-60)2+33000,∴当x=60时,有最大利润33000元,故选C.
10.已知某池塘中浮萍蔓延的面积y(单位:
m2)与时间t(单位:
月)的关系式为y=at,其图象如图所示,现有以下叙述:
①这个指数函数的底数是2;
②第5个月时,浮萍的面积就会超过30m2;
③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月;
④浮萍每个月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到2m2、3m2、6m2所经过的时间分别为t1、t2、t3,则t1+t2=t3.
其中正确的是( )
A.①②B.①②③④C.②③④⑤D.①②⑤
解析 因为点(1,2)在图象上,所以这个指数函数的底数是2,即①正确;
因为函数y=2t在R上单调递增,且当t=5时,y=32,所以②正确;
当y=4时,t=2,经过1.5个月后y=23.5<
12,所以③错误;
由图可知,2月面积增加2m2,而3月面积增加4m2,所以④错误;
因为2=2t1,3=2t2,6=2t3,所以t1=1,t2=log23,t3=log26,又1+log23=log22+log23=log26,所以⑤正确,故选D.
11.某食品的保鲜时间t(单位:
小时)与储藏温度x(单位:
℃)满足函数关系式t=且该食品在4℃时的保鲜时间是16小时.已知甲在某日10时购买了该食品,并将其遗放在室外,且此日的室外温度随时间变化如图所示.给出以下四个结论:
①该食品在6℃的保鲜时间是8小时;
②当x∈[-6,6]时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少;
③到了此日13时,甲所购买的食品还在保鲜时间内;
④到了此日14时,甲所购买的食品已过了保鲜时间.
其中,所有正确结论的序号是________.
答案 ①④
解析 ∵某食品的保鲜时间t(单位:
℃)满足函数关系式t=且该食品在4℃时的保鲜时间是16小时,∴24k+6=16,即4k+6=4,解得k=-,∴①当x=6时,t=8,故①正确;
②当x∈[-6,0]时,保鲜时间恒为64小时,当x∈(0,6]时,该食品的保鲜时间t随着x的增大而逐渐减少,故②错误;
③此日10时,温度为8℃,此时保鲜时间为4小时,而随着时间的推移,到11时,温度为11℃,此时的保鲜时间t==≈1.414(小时),到13时,甲所购买的食品不在保鲜时间内,故③错误;
④由③可知,到了此日14时,甲所购买的食品已过了保鲜时间,故④正确.故正确结论的序号为①④.
二、高考小题
12.[2016·
四川高考]某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据:
lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)
A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年
解析 设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元.根据题意得130(1+12%)n-1>
200,则lg[130(1+12%)n-1]>
lg200,∴lg130+(n-1)lg1.12>
lg2+2,∴2+lg1.3+(n-1)lg1.12>
lg2+2,∴0.11+(n-1)×
0.05>
0.30,解得n>
,又∵n∈N*,∴n≥5,∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年.故选B.
13.[2015·
北京高考]汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )
A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米
B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多
C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油
解析 对于A选项,从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40km/h时的燃油效率大于5km/L,故乙车消耗1升汽油的行驶路程可大于5千米,所以A错误.对于B选项,由图可知甲车消耗汽油最少.对于C选项,甲车以80km/h的速度行驶时的燃油效率为10km/L,故行驶1小时的路程为80千米,消耗8L汽油,所以C错误,对于D选项,当最高限速为80km/h且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以D正确.
14.[2015·
陕西高考]如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:
m)的最大值为( )
A.5B.6C.8D.10
解析 因为函数y=3sin+k的最小值为2,所以-3+k=2,得k=5,故这段时间水深的最大值为3+5=8(m),选C.
15.[2014·
湖南高考]某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.B.
C.D.-1
解析 设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q),由于连续两年持续增加,所以x>
0,因此x=-1,故选D.
16.[2014·
福建高考]要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________(单位:
元).
答案 160
解析 设底面长为xm,宽为m,造价为y元,y=4×
20+2×
10=80+20x+≥80+2=160,当且仅当20x=,即x=2时,等号成立,所以最低总造价为160元.
17.[2014·
湖北高考]某项研究表明:
在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:
辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:
米/秒)、平均车长l(单位:
米)的值有关,其公式为F=.
(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时;
(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比
(1)中的最大车流量增加________辆/小时.
答案
(1)1900
(2)100
解析
(1)当l=6.05时,F=,
∴F==
≤=1900,
当且仅当v=,即v=11时取“=”.
∴最大车流量F为1900辆/小时.
(2)当l=5时,F==,
∴F≤=2000,
当且仅当v=,即v=10时取“=”.
∴最大车流量比
(1)中的最大车流量
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- 高考 数学 考点 练习 第二 函数 导数 及其 应用 13 模型 试题