高中数学 212第2课时 指数函数及其性质的应用课时作业 新人教A版必修1.docx
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高中数学212第2课时指数函数及其性质的应用课时作业新人教A版必修1
2019-2020年高中数学2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用课时作业新人教A版必修1
知识点及角度
难易度及题号
基础
中档
稍难
比较大小
2
解不等式
3
9
最值问题
5
综合问题
1、4
6、7、8
10
解析:
∵f(x)=ax在(0,2)内的值域是(a2,1),
∴f(x)在(0,2)内单调递减,∴0<a<1,故选A.
答案:
A
5.若函数f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m,且函数g(x)=(1-4m)x2在[0,+∞)上是增函数,则a=______.
解析:
当a>1时,有a2=4,a-1=m,此时a=2,m=,此时g(x)=-x2在[0,+∞)上是减函数,不合题意.若0<a<1,则a-1=4,a2=m,故a=,m=,检验知符合题意.
答案:
6.若函数f(x)=的定义域为R,则a的取值范围是________.
解析:
∵f(x)的定义域为R,所以2x2+2ax-a-1≥0恒成立,即x2+2ax-a≥0恒成立,
∴Δ=4a2+4a≤0,-1≤a≤0.
答案:
[-1,0]
7.若ax+1>5-3x(a>0,且a≠1),求x的取值范围.
解:
ax+1>5-3x⇔ax+1>a3x-5,当a>1时,可得x+1>3x-5,
∴x<3.
当0<a<1时,可得x+1<3x-5,
∴x>3.
综上,当a>1时,x<3,当0<a<1时,x>3.
8.已知函数f(n)=是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1)B.(7,8)
C.[7,8)D.(4,8)
解析:
因为函数f(n)=
是增函数,所以
解得4<a<8,故选D.
答案:
D
9.函数y=x-3x在区间[-1,1]上的最大值为______.
解析:
设-1≤x1<x2≤1,
因为函数y=x在[-1,1]上为减函数,
所以x1>x2①,
因为函数y=3x在[-1,1]上为增函数,所以3x1<3x2,
所以-3x1>-3x2②
由①②可知,x1-3x1>x2-3x2,
所以函数y=x-3x在[-1,1]上为减函数,
当x=-1时,函数y=x-3x在[-1,1]上取最大值,
最大值为-1-3-1=.
答案:
10.求函数y=3-x2+2x+3的单调区间和值域.
解:
设u=-x2+2x+3,则f(u)=3u.
∵f(u)=3u在R上是增函数,
且u=-x2+2x+3=-(x-1)2+4
在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数,
∴y=f(x)在(-∞,1]上是增函数,在[1,+∞)上是减函数.
∴当x=1时,ymax=f
(1)=81,
而y=3-x2+2x+3>0,
∴函数的值域为(0,81].
11.函数f(x)=(ax+a-x)(a>0,且a≠1)的图象经过点.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求证:
f(x)在[0,+∞)上是增函数.
(1)解:
∵f(x)的图象经过点,
∴(a2+a-2)=,
即9a4-82a2+9=0,解得a2=9或a2=.
∵a>0,且a≠1,∴a=3或.
当a=3时,f(x)=(3x+3-x);
当a=时,f(x)==(3x+3-x).
∴所求解析式为f(x)=(3x+3-x).
(2)证明:
设x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=(3x1-3x2),由0≤x1<x2得,3x1-3x2<0,3x1+x2>1,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在[0,+∞)上是增函数.
12.已知函数f(x)=a-.(a∈R)
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)若函数f(x)为奇函数,求实数a的值;
(3)在
(2)的条件下,若对任意的t∈R,不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0恒成立,求实数k的取值范围.
解:
(1)函数f(x)为R上的增函数.
证明如下:
显然函数f(x)的定义域为R,对任意x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-
=
因为y=2x是R上的增函数,且x1<x2,所以2x1-2x2<0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函数f(x)为R上的增函数.
(2)因为函数f(x)的定义域为R,且为奇函数,所以f(0)=0,
即f(0)=a-=0,解得a=1.
(3)因为f(x)是奇函数,从而不等式f(t2+2)+f(t2-tk)>0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f(t2+2)>f(tk-t2)对任意的t∈R恒成立.
又因为f(x)在R上为增函数,所以等价于不等式t2+2>tk-t2对任意的t∈R恒成立,即不等式2t2-kt+2>0对任意的t∈R恒成立.
所以必须有Δ=k2-16<0,即-4<k<4,所以,实数k的取值范围是(-4,4).
1.比较两个指数式值的大小的主要方法.
(1)比较形如am与an的大小,可运用指数函数y=ax的单调性.
(2)比较形如am与bn的大小,一般找一个“中间值c”,若am<c且c<bn,则am<bn;若am>c且c>bn,则am>bn.
2.解简单指数不等式问题的注意点.
(1)形如ax>ay的不等式,可借助y=ax的单调性求解,如果a的值不确定,需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论.
(2)形如ax>b的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.
(3)形如ax>bx的不等式,可借助图象求解.
3.对于函数y=af(x),x∈D,其最值由底数a和f(x)的值域确定.求指数函数的最值时要注意函数定义域.
2019-2020年高中数学2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用课时作业(含解析)新人教A版必修1
一、选择题
1.若2x+1<1,则x的取值范围是( )
A.(-1,1) B.(-1,+∞)
C.(0,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)
【解析】 ∵2x+1<1=20,且y=2x是增函数,
∴x+1<0,∴x<-1.
【答案】 D
2.下列判断正确的是( )
A.1.72.5>1.73B.0.82<0.83
C.π2<πD.0.90.3>0.90.5
【解析】 ∵y=0.9x在定义域上是减函数,0.3<0.5,∴0.90.3>0.90.5.
【答案】 D
3.(xx·湖南高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是( )
A.f(x)=B.f(x)=x2+1
C.f(x)=x3D.f(x)=2-x
【解析】 A中f(x)=是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数,故A满足题意.B中f(x)=x2+1是偶函数,但在(-∞,0)上是减函数.C中f(x)=x3是奇函数.D中f(x)=2-x是非奇非偶函数.故B,C,D都不满足题意.
【答案】 A
4.已知函数f(x)=(a2-1)x,若x>0时总有f(x)>1,则实数a的取值范围是( )
A.1<|a|<2B.|a|<2
C.|a|>1D.|a|>
【解析】 由题意知a2-1>1,解得a>或a<-,故选D.
【答案】 D
二、填空题
5.不等式0.52x>0.5x-1的解集为________(用区间表示).
【解析】 ∵0<0.5<1,∴由0.52x>0.5x-1得2x 【答案】 (-∞,-1) 6.函数y=ax(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为6,则a的值为________. 【解析】 由于函数在[1,2]上必定单调,因此最大值与最小值都在端点处取得,于是必定有a+a2=6,又a>0,解得a=2. 【答案】 2 7.若2x>,则x的取值范围为________. 【解析】 ∵=2-0.5,又y=2x在R上是增函数, ∴2x>⇔2x>2-0.5⇔x>-0.5. 【答案】 三、解答题 8.(xx·广州高一检测)已知f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于y轴对称,且f(2x-1)>f(3x),求x的取值范围. 【解】 因为f(x)的图象与g(x)=2x的图象关于y轴对称, 所以f(x)=, 因为f(2x-1)>f(3x), 所以>, 所以2x-1<3x,所以x>-1. 9.设函数f(x)=+是R上的偶函数且a>0. (1)求a的值. (2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性. 【解】 (1)因为f(x)是R上的偶函数, 所以f(-1)=f (1), 即+=+, 所以=e, 故-a=0,又a>0,所以a=1. (2)由 (1)知f(x)=ex+e-x. 设任意的x1,x2>0,且x1<x2, f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2 =ex1-ex2+- =ex1-ex2+ =(ex1-ex2), 因为x1,x2>0且x1<x2, 所以ex1<ex2且ex1ex2>1, 故(ex1-ex2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在(0,+∞)上为增函数. 1.设函数f(x)=a-|x|(a>0,且a≠1),若f (2)=4,则( ) A.f(-2)>f(-1) B.f(-1)>f(-2) C.f (1)>f (2)D.f(-2)>f (2) 【解析】 f (2)=a-2=4,a=,f(x)==2|x|,得f(-2)>f(-1). 【答案】 A 2.若函数f(x)=,则该函数在(-∞,+∞)上( ) A.单调递减且无最小值 B.单调递减且有最小值 C.单调递增且无最大值 D.单调递增且有最大值 【解析】 函数f(x)=为减函数,2x+1>1,故f(x)=∈(0,1),无最值. 【答案】 A 3.我国第六次人口普查人口数约为13.397亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数大约为________亿(精确到亿). 【解析】 人口年增长率为1%,经过x年后,设我国人口数为y亿,第六次人口普查时人口数约为13.397亿; 经过1年后,人口数为13.397+13.397×1%=13.397×(1+1%)(亿); 经过2年后人口数为13.397×(1+1%)+13.397×(1+1%)×1% =13.397×(1+1%)2(亿); 经过3年后人口数为13.397×(1+1%)2+13.397×(1+1%)2×1% =13.397×(1+1%)3(亿); … 所以经过x年后人口数为 y=13.397×(1+1%)x(亿)(x∈N*). 当x=20时,y=13.397×1.0120≈16(亿). 【答案】 16 4.(xx·永安高一检测)设a是实数,函数f(x)=a-(x∈R). (1)证明: 对于任意的实数a,函数f(x)在R上为增函数. (2)试确定a的值,使函数f(x)为奇函数. 【解】 (1)任取x1,x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2) =- =-= 由于指数函数y=2x是R上的增函数,且x1<x2, 所以2x1<2x2,即2x1-2x2<0. 又2x1+1>0,2x2+1>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2) 因为此结论与a的取值无关,所以对任意的实数a,函数f(x)在R上为增函数. (2)因为f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x),即 a-=- 整理得2a=+==2,解得a=1. 经检验a=1符合题意, 所以当a=1时,函数f(x)为奇函数.
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