圆锥曲线知识要点及结论个人总结Word格式.docx
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双曲线是轴对称图形,有两条对称轴;
双曲线是中心对称图形,对称中心是双曲线的中心.
双曲线的顶点有两个,实轴长为,虚轴长为,双曲线的焦点在实轴上.
若双曲线的标准方程为,则;
若双曲线的标准方程为,则.
4渐近线
双曲线有两条渐近线和.即
双曲线的渐进线是它的重要几何特征,每一双曲线都对应确定双曲线的渐进线,但对于同一组渐进线却对应无数条双曲线.
与双曲线共渐进线的双曲线可表示为.
直线与双曲线有两个交点的条件,一定要“消元后的方程的二次项系数”和“”同时成立.
5等轴双曲线:
实轴长等于虚轴长的双曲线叫做等轴双曲线.
等轴双曲线的标准方程为或.
等轴双曲线的渐近线方程为.
6共轭双曲线:
实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线互为共轭双曲线.
如:
的共轭双曲线为,它们的焦点到原点的距离相等,因而在以原点为圆心,为半径的圆上.且它们的渐近线都是
和.
三、抛物线
1定义平面内与一个定点和一条定直线不在上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.
2标准方程
(1),焦点为,准线方程为,抛物线张口向右.
(2),焦点为,准线方程为,抛物线张口向左.
(3),焦点为,准线方程为,抛物线张口向上.
(4),焦点为,准线方程为,抛物线张口向下.
其中表示焦点到准线的距离.
3几何性质
抛物线是轴对称图形,有一条对称轴.若方程为或,则对称轴是轴,若方程为或,则对称轴是轴.
若抛物线方程为,则.
圆锥曲线的一些重要结论
【几个重要结论】
1已知椭圆的两焦点为,为椭圆上一点,则
因为,,
所以.同理,.
已知双曲线的左、右焦点分别为,为双曲线上一点,则,.
2椭圆的两焦点为,为椭圆上一点,若,则的面积为.
解:
根据椭圆的定义可得①
由余弦定理可得②
由①②得.从而
所以,的面积为
双曲线的两焦点为,为其上一点,若,则的面积为.
3已知椭圆,是上关于原点对称的两点,点是椭圆上任意一点,当直线的斜率都存在,并记为时,那么与之积是与点位置无关的定值.
设,则.
,从而.
又因为都在椭圆上,故.
两式相减得,,因而即.
类似结论
已知双曲线.是上关于原点对称的两点,点是双曲线上任意一点,当直线的斜率都存在,并记为时,那么与之积是与点位置无关的定值.
【常用方法】
1在求轨迹方程时,若条件满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,则可以用定义求轨迹方程,这是常用求轨迹的数学方法,称为定义法.
2本章经常会碰到直线与圆锥曲线相交于两点的问题,若已知过定点,则可设的方程为或.然后分两种情况进行研究,一般处理方法是把直线方程代入曲线的方程中,整理得到关于或的一元二次方程(要注意二次项系数是否为零).韦达定理和判别式经常要用到!
若的条件不明显时,则可设的方程为或.
3本章还经常用到“点差法”:
设直线与圆锥曲线交于点,则两点坐标都满足曲线的方程,然后把这两个结构相同的式子相减,整理可以得到直线的斜率的表达式,也经常会出现,这样又可以与线段的中点联系起来!
4若三点满足以线段为直径的圆经过点或时,常用处理方法有:
①根据勾股定理可得;
②根据的斜率与的斜率之积为,可得;
③根据可得
.
5求轨迹方程的方法常见的有:
直接法、定义法、待定系数法、代入法(也叫相关点法).
圆锥曲线中有用的结论
1椭圆的参数方程是.
离心率,
△PF1F2中,记,,,则有.
线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离(焦准距)。
过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为:
2椭圆焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积:
,;
。
3椭圆的的内外部:
(1)点在椭圆的内部.
(2)点在椭圆的外部.
4椭圆的切线方程:
(1)椭圆上一点处的切线方程是.
(2)过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.
(3)椭圆与直线相切的条件是.
5双曲线的离心率,
焦点在x轴的与焦点在y轴的共渐近线,它们离心率满足关系
准线到中心的距离为,焦点到对应准线的距离(焦准距)。
过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为:
焦半径公式,,
两焦半径与焦距构成三角形的面积。
6双曲线的方程与渐近线方程的关系:
(1)若双曲线方程为渐近线方程:
(2)若渐近线方程为双曲线可设为.
(3)若双曲线与有公共渐近线,可设为
(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
(4)焦点到渐近线的距离总是。
7双曲线的切线方程:
(1)双曲线上一点处的切线方程是.
(2)过双曲线外一点所引两条切线的切点弦方程是.
(3)双曲线与直线相切的条件是.
8抛物线的焦半径公式:
抛物线焦半径.
过焦点弦长=
9直线与圆锥曲线相交的弦长公式或
(弦端点A,由方程消去y得到
为直线的倾斜角,为直线斜率,
10.经过抛物线y2=2px(p>
0)(*)的焦点作一条直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2),则
①l的方程为x=(通经所在直线),或y=k(x-)(**)
②(*)、(**)两式联立:
消x得,得y1y2=-p2(定值)消y得方程,得x1x2=(定值)
例题:
若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>
0)上不同的两点,则“y1y2=-p2”是“直线P1P2过抛物线焦点F”的充要条件.
11.①以焦点弦AB为直径的圆必与准线相切。
②以焦半径为直径的圆必与y轴相切(请证明!
)
③过A、B作准线的垂线,焦点弦AB与准线形成的直角梯形ABB/A/的对角线的交点是原点.
④T(2p,0)是抛物线y2=2px对称轴y=0上的特殊点,过此点的弦与抛物线交于P、Q,则有∠POQ=90o或说。
12.中点弦公式1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
2.AB是双曲线(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。
13.抛物线上的动点可设为P或P,其中.
16.双曲线(a>0,b>0)与直线有公共点的充要条件是.
15.焦点在x轴的与焦点在y轴的共渐近线,它们离心率满足关系
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