届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答.docx
- 文档编号:1504433
- 上传时间:2022-10-22
- 格式:DOCX
- 页数:20
- 大小:556.87KB
届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答.docx
《届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答.docx(20页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答
天津市南开中学2017届高三第四次月考数学(理)试题
I卷
一、选择题(每小题有且只有1个选项符合题意,将正确的选项涂在答题卡上,每小题5分,共40分.)
一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度(的单位:
,的单位:
)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:
)是().
A.B.C.D.
若的展开式中的系数是,则的值为().
A.B.C.D.
已知数列的前项和为,首项,且满足,则等于().
A.B.C.D.
若,,,且,,则的值为().
A.B.C.D.
关于的方程的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率,则的取值范围是().
A.B.C.D.
如图,在中,,过点的直线分别交射线于不同的两点,若,,则的最小值为().
A.B.
C.D.
函数,则下列命题中正确命题的个数是().
①函数有个零点;
②若时,函数恒成立,则实数的取值范围是;
③函数的极大值中一定存在最小值;
④,对一切恒成立.
A.B.C.D.
已知不等式对任意正数都成立,则实数的取值范围是().
A.B.C.D.
II卷(将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.)
二、填空题:
(每小题5分,共30分.)
已知复数(是虚数单位),则的虚部为__________.
在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线:
与直线:
(为参数)相交于两点,则=__________.
如图,已知与相切,为切点,过点的割线交于两点,弦,相交于点,点为上一点,
且,若,,,
则__________.
已知实数满足时,的最大值为,则的最小值为__________.
已知定义域是的偶函数在上单调递增,若时,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.
已知函数,若函数有且只有个零点,则实数的取值范围是__________.
三、解答题:
(15—18每小题13分,19—20每小题14分,共80分.)
设.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)若锐角中,的对边分别为且,,,求角及边.
在上海世博会期间,小红计划对事先选定的个场馆进行参观.在她选定的个场馆中,有个场馆分布在区,个场馆分布在区,个场馆分布在区.已知区的每个场馆的排队时间为小时,区和区的每个场馆的排队时间为小时.参观前小红因事只能从这个场馆中随机选定个场馆进行参观.
(Ⅰ)求小红每个区都参观个场馆的概率;
(Ⅱ)设小红排队时间总和为(小时),求随机变量的分布列和数学期望.
如图:
已知矩形所在平面与底面垂直,直角梯形中//,,
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在边上找一点,使所成角的余弦值为,并求线段的长.
已知正项数列,满足:
对任意正整数,都有,,成等差数列,,,成等比数列,且,.
(Ⅰ)求证:
数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,的通项公式;
(Ⅲ)设=++…+,如果对任意的正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为,左右顶点分别为,.经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)记与的面积分别为和,且,求直线的方程;
(Ⅲ)若是椭圆上的两动点,且满足,动点满足(其中为坐标原点),求动点的轨迹方程.
设函数.
(Ⅰ)证明:
当时,;
(Ⅱ)设当时,,求实数的取值范围.
天津南开中学2017届高三理科数学第四次月考试卷参考答案
一、选择题:
1
2
3
4
5
6
7
8
C
A
D
C
A
D
B
B
二、填空题:
9
10
11
12
13
14
三、解答题:
15.设.
(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递减区间;
(Ⅱ)若锐角中,的对边分别为且,,,求角及边.
解:
(Ⅰ)
∴的最小正周期.
由解得,故的单调递减区间是.
(Ⅱ)∵在锐角中,,∴,即.由,得.
∵,,∴由正弦定理,得.
由,得.故.
由余弦定理,,
故.
16.在上海世博会期间,小红计划对事先选定的个场馆进行参观.在她选定的个场馆中,有个场馆分布在区,个场馆分布在区,个场馆分布在区.已知区的每个场馆的排队时间为小时,区和区的每个场馆的排队时间为小时.参观前小红因事只能从这个场馆中随机选定个场馆进行参观.
(Ⅰ)求小红每个区都参观个场馆的概率;(Ⅱ)设小红排队时间总和为(小时),求随机变量的分布列和数学期望.
解:
(Ⅰ)从个场馆中选三个,基本事件的总数为个,
小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为,
故小红每个区都参观个场馆的概率为.
(Ⅱ)的取值可能是,分别对应没有事件参观区场馆,参观一个区场馆,参观两个区场馆,参观三个区场馆,,,
,.
所以的分布列为:
.
17.如图:
已知矩形所在平面与底面垂直,直角梯形中
//,,
.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求二面角的正弦值;
(Ⅲ)在边上找一点,使所成角的余弦值为,并求线段的长.
(Ⅰ)证明矩形所在平面与底面垂直,则
//,,则,则知
则,
且,则.
(Ⅱ),
设,则求得.
设二面角的平面角为,
,
则,由.
得
,.
(Ⅲ)设为上一点,则,
则有,则,解得.
,则线段的长度为.
18.已知正项数列,满足:
对任意正整数,都有,,成等差数列,,,成等比数列,且,.
(Ⅰ)求证:
数列是等差数列;
(Ⅱ)求数列,的通项公式;
(Ⅲ)设=++…+,如果对任意的正整数,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:
(Ⅰ)由已知得,
即,由2b1=a1+a2=25,得b1=,由a22=b1b2,得b2=18,
∴{}是以为首项,为公差的等差数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
∴,.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
原式化为,
即f(n)=恒成立,
当a–1>0即a>1时,不合题意;
当a–1=0即a=1时,满足题意;
当a–1<0即a<1时,f(n)的对称轴为,f(n)单调递减,
∴只需f
(1)=4a–15<0Þa<,∴a<1;
综上,a≤1.
19.已知抛物线的焦点为椭圆的右焦点,且椭圆的长轴长为,左右顶点分别为,.经过椭圆左焦点的直线与椭圆交于、两点.
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)记与的面积分别为和,且,求直线的方程;
(Ⅲ)若是椭圆上的两动点,且满足,动点满足(其中为坐标原点),求动点的轨迹方程.
解:
(Ⅰ)由题设可知:
因为抛物线的焦点为,
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
故
故椭圆的标准方程为:
(Ⅱ)方法一:
设直线,代入椭圆方程得
,
设,
于是=
所以
故直线的方程为
方法二:
当直线斜率不存在时,直线方程为,
此时面积相等,
当直线斜率存在(显然)时,设直线方程为
设
和椭圆方程联立得到,消掉得
显然,方程有根,且
此时=
=
因为,上式,
解得,所以直线方程为.
(Ⅲ)设,
由可得:
②
是椭圆上的点,故
由①②可得:
故,即点的轨迹方程是.
20.设函数.
(Ⅰ)证明:
当时,;(Ⅱ)设当时,,求实数的取值范围.
(Ⅰ)证明:
注意到时,,
于是有,即.
令,.,令,得.
当变化时,的变化情况如下表:
可见在上单调递减,在上单调递增,所以当时,
,故当时,,即,从而,且当且仅当时等号成立.
(Ⅱ)解:
由时,恒成立,故.
设,,则.
设,,
则.
当,即时,,时,,,故.
所以单调递增,,故单调递增,恒成立,符合题意.
当,即时,存在,时,,单调递减,,与恒成立矛盾.
综合上述得实数的取值范围是.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 天津市 南开 中学 第四 月考 理科 数学试题