第3讲空间点3老师文档格式.docx
- 文档编号:15043521
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:58
- 大小:709.85KB
第3讲空间点3老师文档格式.docx
《第3讲空间点3老师文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第3讲空间点3老师文档格式.docx(58页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
①定义:
设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
②范围:
.
(3)平行公理和等角定理
①平行公理:
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
②等角定理:
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
3.空间直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况.
(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.
辨析感悟
1.对平面基本性质的认识
(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(×
)
(2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.(×
(3)(教材练习改编)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(√)
(4)(教材练习改编)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(×
2.对空间直线关系的认识
(5)已知a,b是异面直线、直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.(√)
(6)没有公共点的两条直线是异面直线.(×
考点一 平面的基本性质及其应用
【例1】
(1)以下四个命题中,正确命题的个数是( ).
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面;
③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
A.0B.1C.2D.3
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体的过P,Q,R的截面图形是( ).
A.三角形B.四边形
C.五边形D.六边形
解析
(1)①正确,可以用反证法证明;
②从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确;
③不正确,共面不具有传递性;
④不正确,因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上.
(2)如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面的部分外形.
同理连PQ并延长交CD于N,连接NG交DD1于F,连接QF,FG.
∴截面为六边形PQFGRE.
答案
(1)B
(2)D
规律方法
(1)公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据;
公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;
公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.
(2)画几何体的截面,关键是画截面与几何体各面的交线,此交线只需两个公共点即可确定,作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件,可以更快地确定交线的位置.
【训练1】如图所示是正方体和正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则四个点共面的图形的序号是________.
解析 可证①中的四边形PQRS为梯形;
②中,如图所示,取A1A和BC的中点分别为M,N,可证明PMQNRS为平面图形,且PMQNRS为正六边形;
③中,可证四边形PQRS为平行四边形;
④中,可证Q点所在棱与面PRS平行,因此,P,Q,R,S四点不共面.
答案 ①②③
考点二 空间两条直线的位置关系
【例2】如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°
角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
解析 把正四面体的平面展开图还原.如图所示,GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°
角,DE⊥MN.
答案 ②③④
规律方法空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面直线,可采用直接法或反证法;
对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、平行公理及线面平行与面面平行的性质定理;
对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决.
【训练2】在图中,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号).
解析 图①中,直线GH∥MN;
图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,因此直线GH与MN异面;
图③中,连接MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,因此GH与MN异面.所以在图②④中GH与MN异面.
答案 ②④
考点三 异面直线所成的角
【例3】在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°
,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°
(1)求四棱锥的体积;
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
审题路线
(1)找出PB与平面ABCD所成角⇒计算出PO的长⇒求出四棱锥的体积.
(2)取AB的中点F⇒作△PAB的中位线⇒找到异面直线DE与PA所成的角⇒计算其余弦值.
解
(1)在四棱锥P-ABCD中,
∵PO⊥面ABCD,
∴∠PBO是PB与面ABCD所成的角,即∠PBO=60°
,
∵BO=AB·
sin30°
=1,
∵PO⊥OB,∴PO=BO·
tan60°
=,
∵底面菱形的面积S=2×
×
22=2.
∴四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×
2×
=2.
(2)取AB的中点F,连接EF,DF,
∵E为PB中点,∴EF∥PA,
∴∠DEF为异面直线DE与PA所成角(或其补角).
在Rt△AOB中,AO=AB·
cos30°
==OP,∴在Rt△POA中,PA=,
∴EF=.
在正△ABD和正△PDB中,DF=DE=,
在△DEF中,由余弦定理,
得cos∠DEF=
===.
即异面直线DE与PA所成角的余弦值为.
规律方法
(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面问题化归为共面问题来解决,具体步骤如下:
①平移:
平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;
②认定:
证明作出的角就是所求异面直线所成的角;
③计算:
求该角的值,常利用解三角形;
④取舍:
由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角.
(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.
【训练3】(2014·
成都模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱A1B1,A1D1的中点,则A1B与EF所成角的大小为________.
解析 如图,连接B1D1,D1C,B1C.由题意知EF是△A1B1D1的中位线,所以EF∥B1D1.
又A1B∥D1C,所以A1B与EF所成的角等
于B1D1与D1C所成的角.
因为△D1B1C为正三角形,所以∠B1D1C=.
故A1B与EF所成角的大小为.
答案
1.证明线共点问题,常用的方法是:
先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.
2.证明点或线共面问题,一般有以下两种途径:
(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余线(或点)均在这个平面内;
(2)将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证平面重合.
3.异面直线的判定方法
(1)判定定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线;
(2)反证法:
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
思想方法7——构造模型判断空间线面的位置关系
【典例】(2012·
上海卷)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( ).
A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能
[解析] 在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B错误;
m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.
[答案] D
[反思感悟]这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.
【自主体验】
1.(2013·
浙江卷)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ).
A.若m∥α,n∥α,则m∥nB.若m∥α,m∥β,则α∥β
C.若m∥n,m⊥α,则n⊥αD.若m∥α,α⊥β,则m⊥β
解析 本题可借助特殊图形求解,画一个正方体作为模型(如图).设底面ABCD为α,侧面A1ADD1为β.
①当A1B1=m,B1C1=n时,显然A不正确;
②当B1C1=m时,显然D不正确;
③当B1C1=m时,显然B不正确.故选C.
答案 C
2.对于不同的直线m,n和不同的平面α,β,γ,有如下四个命题:
①若m∥α,m⊥n,则n⊥α;
②若m⊥α,m⊥n,则n∥α;
③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;
④若m⊥α,m∥n,n⊂β,则α⊥β.其中真命题的个数是( ).
A.1B.2C.3D.4
解析 本题可借助特殊图形求解.画一个正方体作为模型(如图)设底面ABCD为α.
①当A1B1=m,B1C1=n,显然符合①的条件,但结论不成立;
②当A1A=m,AC=n,显然符合②的条件,但结论不成立;
③与底面ABCD相邻两个面可以两两垂直,但任何两个都不平行;
④由面面垂直的判定定理可知,④是正确的.
只有④正确,故选A.
答案 A
一、选择题
江西七校联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( ).
A.相交或平行B.相交或异面
C.平行或异面D.相交、平行或异面
解析 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.
答案 D
2.在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是( ).
A.相交B.异面C.平行D.垂直
解析 如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF⊂平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
3.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是( ).
①P∈a,P∈α⇒a⊂α ②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β ③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α ④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
A.①②B.②③C.①④D.③④
解析 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,①错;
a∩β=P时,②错;
如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,
∴β与α重合,∴b⊂α,故
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 空间 老师