版高中数学 第二章 随机变量及其分布 习题课 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修23Word文档下载推荐.docx
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∴E(ξ)===.
(2)由题意知1次取到次品的概率为=,
随机变量η服从二项分布η~B,
∴E(η)=3×
反思与感悟 不放回抽样服从超几何分布,放回抽样服从二项分布,求均值可利用公式代入计算.
跟踪训练1 甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球,已知甲袋中共有m个球,乙袋中共有2m个球,从甲袋中摸出1个球为红球的概率为,从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2.
(1)若m=10,求甲袋中红球的个数;
(2)若将甲、乙两袋中的球装在一起后,从中摸出1个红球的概率是,求P2的值;
(3)设P2=,若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球,每次摸出1个球,并且从甲袋中摸1次,从乙袋中摸2次.设ξ表示摸出红球的总次数,求ξ的分布列和均值.
考点 常见的几种均值
题点 相互独立事件的均值
解
(1)设甲袋中红球的个数为x,
依题意得x=10×
=4.
(2)由已知,得=,解得P2=.
(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=×
×
=,
P(ξ=1)=×
+×
C×
P(ξ=2)=×
2=,
P(ξ=3)=×
2=.
所以ξ的分布列为
3
所以E(ξ)=0×
+3×
类型二 与排列、组合有关的分布列的均值
例2 如图所示,从A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0).
(1)求V=0的概率;
(2)求均值E(V).
题点 与排列、组合有关的随机变量的均值
解
(1)从6个点中随机选取3个点总共有C=20(种)取法,选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有CC=12(种),
因此V=0的概率为P(V=0)==.
(2)V的所有可能取值为0,,,,,
则P(V=0)=,P==,
P==,
P==.
因此V的分布列为
V
所以E(V)=0×
反思与感悟 解此类题的关键是搞清离散型随机变量X取每个值时所对应的随机事件,然后利用排列、组合知识求出X取每个值时的概率,利用均值的公式便可得到.
跟踪训练2 某位同学记住了10个数学公式中的m(m≤10)个,从这10个公式中随机抽取3个,若他记住2个的概率为.
(1)求m的值;
(2)分别求他记住的数学公式的个数X与没记住的数学公式的个数Y的均值E(X)与E(Y),比较E(X)与E(Y)的关系,并加以说明.
考点 超几何分布的均值
题点 超几何分布的均值
解
(1)P(X=2)==,
即m(m-1)(10-m)=120,且m≥2.
所以m的值为6.
(2)由原问题知,E(X)=0×
没记住的数学公式有10-6=4个,故Y的可能取值为0,1,2,3.
P(Y=0)==,
P(Y=1)==,
P(Y=2)==,
P(Y=3)==,
所以Y的分布列为
Y
E(Y)=0×
由E(X)=,E(Y)=得出
①E(X)>
E(Y).说明记住公式个数的均值大于没记住公式个数的均值.
②E(X)+E(Y)=3.说明记住和没记住的均值之和等于随机抽取公式的个数.
类型三 与互斥、独立事件有关的分布列的均值
例3 某学生需依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核.每个项目只有一次补考机会,补考不及格者不能进入下一个项目的训练(即淘汰),若该学生身体体能考核合格的概率是,外语考核合格的概率是,假设每一次考核是否合格互不影响.
假设该生不放弃每一次考核的机会.用ξ表示其参加补考的次数,求随机变量ξ的均值.
解 ξ的可能取值为0,1,2.
设该学生第一次,第二次身体体能考核合格分别为事件A1,A2,第一次,第二次外语考核合格分别为事件B1,B2,
则P(ξ=0)=P(A1B1)=×
P(ξ=2)=P(1A21B2)+P(1A212)
=×
根据分布列的性质,可知P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ=2)=.
反思与感悟 若随机变量取某一值的概率较为复杂或不好求时,可以利用分布列的性质求其概率.
跟踪训练3 甲、乙两人进行围棋比赛,每局比赛甲胜的概率为,乙胜的概率为,没有和棋,采用五局三胜制,规定某人先胜三局则比赛结束,求比赛局数X的均值.
解 由题意,得X的所有可能取值是3,4,5.
则P(X=3)=C×
3+C×
3=,
P(X=4)=C×
2×
+C×
P(X=5)=C×
所以X的分布列为
X
4
5
E(X)=3×
+4×
+5×
类型四 均值问题的实际应用
例4 某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
考点 离散型随机变量的均值的性质
题点 均值在实际中的应用
解
(1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,且X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,从而
P(X=16)=0.2×
0.2=0.04;
P(X=17)=2×
0.2×
0.4=0.16;
P(X=18)=2×
0.2+0.4×
0.4=0.24;
P(X=19)=2×
0.2+2×
0.4×
0.2=0.24;
P(X=20)=2×
0.4+0.2×
0.2=0.2;
P(X=21)=2×
0.2=0.08;
P(X=22)=0.2×
0.2=0.04.
16
17
18
19
20
21
22
0.04
0.16
0.24
0.2
0.08
(2)由
(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:
元).
当n=19时,
E(Y)=19×
200×
0.68+(19×
200+500)×
0.2+(19×
200+2×
500)×
0.08+(19×
200+3×
0.04=4040.
当n=20时,
E(Y)=20×
0.88+(20×
0.08+(20×
0.04=4080.
可知当n=19时所需费用的均值小于当n=20时所需费用的均值,故应选n=19.
反思与感悟 解答概率模型的三个步骤
(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的公式有哪些.
(2)确定随机变量的分布列,计算随机变量的均值.
(3)对照实际意义,回答概率、均值等所表示的结论.
跟踪训练4 某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为
0.4
0.1
商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;
分2期或3期付款,其利润为250元;
分4期或5期付款,其利润为300元.η表示经销一件该商品的利润.
(1)求事件A“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);
(2)求η的分布列及均值E(η).
解
(1)由A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”知,表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”.
P()=(1-0.4)3=0.216,
P(A)=1-P()=1-0.216=0.784.
(2)η的可能取值为200,250,300.
P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,
P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,
P(η=300)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=0.1+0.1=0.2,
因此η的分布列为
η
200
250
300
E(η)=200×
0.4+250×
0.4+300×
0.2=240(元).
1.若随机变量X的分布列如下表所示,则E(X)等于( )
2x
3x
7x
x
A.B.C.D.
考点 离散型随机变量的均值的概念与计算
题点 离散型随机变量均值的计算
答案 C
解析 因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1,所以x=,因此E(X)=0×
2x+1×
3x+2×
7x+3×
2x+4×
3x+5×
x=40x=40×
2.某一供电网络有n个用电单位,每个单位在一天中用电的机会是p,则供电网络中一天平均用电的单位个数是( )
A.np(1-p)B.np
C.nD.p(1-p)
考点 二项分布、两点分布的均值
题点 二项分布的均值
答案 B
解析 用电单位X~B(n,p),∴E(X)=np.
3.口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球,从中任取2个,则取出的球的最大编号X的均值为( )
A.B.C.2D.
答案 D
解析 X可能取值为2,3.P(X=2)==,P(X=3)==.所以E(X)=×
2+×
3=+2=.故选D.
4.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的4
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- 版高中数学 第二章 随机变量及其分布 习题课 离散型随机变量的均值学案 新人教A版选修23 高中数学 第二 随机变量 及其 分布 习题 离散 均值 新人 选修 23
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