八年级数学下册第1章11直角三角形的性质与判定Ⅰ第2课时含30锐角的直角三角形的性质及练习新湘教Word格式文档下载.docx
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A.2B.2C.3D.3
5.如图-2-4,AB⊥BC于点B,AD∥BC,BE⊥CD于点E,CE=BC,E为CD的中点,那么∠ADB的度数为( )
图-2-4
A.75°
B.60°
C.45°
D.无法确定
6.2018·
郴州如图-2-5,∠AOB=60°
,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB分别于点C,D;
分别以点C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;
以O为端点作射线OP,在射线OP中截取OM=6,则点M到OB的距离为( )
图-2-5
A.6B.2C.3D.3
7.如图-2-6,已知∠1=∠2,AD=BD=4,CE⊥AD于点E,2CE=AC,那么CD的长是( )
图-2-6
A.2B.3C.1D.1.5
二、填空题
8.若直角三角形的两个锐角的度数比是2∶1,斜边长为8,则这个直角三角形最短的边长为________.
9.如图-2-7,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,CD⊥AB,垂足为D.若BC=AB,则∠DCB=________°
.
图-2-7
10.如图-2-8,在△ABC中,∠C=90°
,AD平分∠CAB,交BC于点D.若CD=1,则BD=________.
图-2-8
11.如图-2-9,在△ABC中,∠C=90°
,DE垂直平分AB于点E,交AC于点D,AD=2BC,则∠A=________°
图-2-9
12.如图-2-10,已知∠AOB=60°
,点P在OA上,OP=8,点M,N在边OB上,PM=PN.若MN=2,则OM=________.
图-2-10
三、解答题
13.如图-2-11,在Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,E是边BC的中点,BF∥AC,EF∥AB,EF=4cm.求:
(1)∠F的度数;
(2)AB的长.
图-2-11
14.如图-2-12,△ABC是等边三角形,D为BC边的中点,DE⊥AC于点E.试探索线段CE与线段AC之间的数量关系,并说明理由.
图-2-12
15.如图-2-13,在等边三角形ABC中,D,E分别是BC,AC上的点,且CD=AE,AD与BE相交于点P.
(1)求证:
∠ABE=∠CAD;
(2)若BH⊥AD于点H,求证:
PB=2PH.
图-2-13
16.如图-2-14,∠AOP=∠BOP=15°
,PC∥OA,PD⊥OA于点D.若PC=4,求PD的长.
图-2-14
1.分类讨论思想在△ABC中,AB=AC=10cm,BD是高,且∠ABD=30°
,求CD的长
2.图形全等与变换如图-2-15,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
,D是AB上一点,∠ACD=15°
,点B,E关于CD对称,连接BE交CD于点H,交AC于点G,连接DE交AC于点F.
(1)求∠ADF的度数;
(2)求证:
AF=CG.
图-2-15
详解详析
课堂达标
1.[解析]B 由“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知大树折断部分的高度是10米,则大树在折断前的高度是5+10=15(米).
2.[解析]D 由“在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半”可知,AC=AB=AD=BD.根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知CD=AB,所以AC=AD=BD=CD.故选D.
3.[解析]C ∵∠ACB=90°
,AB=4,∴CB=AB=2,∠B=60°
.∵CD是AB边上高,∴∠BDC=90°
,
∴∠BCD=30°
∴BD=BC=1.
4.[解析]B 设三个内角的度数分别为°
,
(2)°
,(3)°
,则+2+3=180,解得=30,∴三个内角分别为30°
,60°
,90°
,∴这个三角形是直角三角形,30°
角所对的直角边为最短边,斜边为最长边.∵最短边长为,∴它的最长边为2.
5.[解析]B 由BE⊥CD,CE=BC,根据“在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30°
”得∠EBC=30°
.又由BE垂直平分CD得△BCD为等腰三角形,所以∠DBE=∠EBC=30°
,根据“两直线平行,内错角相等”得到∠ADB=∠DBC=60°
.故选B.
6.[解析]C 由作图知,OP是∠AOB的平分线,点M到OB的距离即为垂线段的长,根据直角三角形中30°
角所对的直角边等于斜边的一半,可得点M到OB的距离是3.
7.[解析]A 在Rt△AEC中,由=,可以得到∠1=∠2=30°
.又∵AD=BD=4,得到∠B=∠2=30°
,从而求出∠ACD=90°
,然后由直角三角形的性质求出CD的长.
8.4
9.[答案]30
[解析]∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=AB,∴∠A=30°
,∴∠B=60°
.∵CD⊥AB,垂足为D,∴∠CDB=90°
,∴∠DCB=30°
10.[答案]2
[解析]∵在△ABC中,∠C=90°
,∴∠CAB=60°
.∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°
,∴∠BAD=∠B,∴AD=BD.∵CD=1,∴AD=2CD=2,
∴BD=AD=2.
11.[答案]15
[解析]连接BD.∵DE垂直平分AB于点E,∴AD=BD=2BC,∴在Rt△BCD中,∠BDC=30°
.又∵BD=AD,∴∠A=∠DBA=∠BDC=15°
12.[答案]3
[解析]如图,过点P作PC⊥MN于点C.∵PM=PN,∴C为MN的中点,即MC=NC=MN=1.∵在Rt△OPC中,∠AOB=60°
,∴∠OPC=30°
∴OC=OP=4,则OM=OC-MC=4-1=3.
13.解:
(1)∵∠C=90°
∴∠ABC=60°
∵EF∥AB,
∴∠BEF=∠ABC=60°
∵BF∥AC,
∴∠EBF=∠C=90°
∴∠F=30°
(2)∵∠EBF=90°
,∠F=30°
,EF=4cm,
∴BE=EF=2cm.
∵E是边BC的中点,∴BC=4cm.
∵∠C=90°
∴AB=2BC=8cm.
14.解:
CE=AC.理由:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°
,BC=AC.
∵D是△ABC中BC边的中点,
∴BD=CD.
又∵∠C=60°
,DE⊥AC,
∴∠CDE=30°
∴CE=CD=BC=AC.
即CE=AC.
15.证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,
∴BA=AC,∠CAB=∠C=60°
又∵AE=CD,
∴△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD.
(2)∵∠BPH=∠BAD+∠ABP=∠BAD+∠CAD=60°
,BH⊥AD于点H,
∴∠EBH=30°
∴在Rt△PBH中,PB=2PH.
16.解:
过点P作PQ⊥OB于点Q,则∠PQO=∠PDO=90°
∵∠DOP=∠QOP=15°
,∠PDO=∠PQO=90°
,OP=OP,∴△OPD≌△OPQ,
∴PD=PQ.∵PC∥OA,
∴∠QCP=∠BOD=∠AOP+∠BOP=30°
∴PQ=PC=2.故PD=2.
素养提升
1.解:
分两种情况讨论.
(1)如图①,当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,∠ABD=30°
,则AD=AB=5cm,∴CD=AC-AD=5cm.
(2)如图②,当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,∵∠ABD=30°
,∴AD=AB=5cm,∴CD=AC+AD=15cm.
2.解:
(1)∵在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°
∴∠CAD=∠CBA=45°
∵∠ACD=15°
∴∠CDB=∠ACD+∠CAD=60°
∵点B,E关于CD对称,
∴∠EDC=∠CDB=60°
∴∠ADF=180°
-60°
=60°
(2)证明:
如图,过点A作AM⊥AC交ED的延长线于点M,则∠FAM=90°
=∠GCB,∠MAD=90°
-45°
=45°
=∠CAD.
∵∠MAD=45°
,∠ADF=60°
∴∠M=60°
=15°
=∠ACD.
∴CD⊥BE,∴∠CHG=90°
∴∠CGB+∠ACD=90°
∵∠GCB=90°
∴∠CGB+∠CBG=90°
∴∠CBG=∠ACD=15°
=∠M.
在△ACD和△AMD中,
∵∠CAD=∠MAD,∠ACD=∠M,AD=AD,
∴△ACD≌△AMD,∴AC=AM.
又∵AC=BC,
∴AM=BC.
在△FAM和△GCB中,
∵∠M=∠CBG,AM=CB,∠FAM=∠GCB,
∴△FAM≌△GCB,
∴AF=CG.
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